Значение коэффициента автокорреляции первого порядка характеризует

Содержание

Коэффициент автокорреляции и его оценка

Значение коэффициента автокорреляции первого порядка характеризует

Для полной характеристики случайного процесса недостаточно его математического ожидания и дисперсии. Еще в 1927 г. Е.Е.

Слуцкий ввел для зависимых наблюдений понятие «связанного ряда»: вероятность возникновения на определенном месте тех или иных конкретных значений зависит от того, какие значения случайная величина уже получила раньше или будет получать позже.

Иными словами, существует поле рассеяния пар значений x(t), x(t+k) временного ряда, где k – постоянный интервал или задержка, характеризующее взаимозависимость последующих реализаций процесса от предыдущих. Теснота этой взаимосвязи оценивается коэффициентами автоковариации –

g (k) = E[(x(t) – m)(x(t + k) – m)] –

и автокорреляции

r (k) = E[(x(t) – m)(x(t + k) – m)] / D ,

где m и D – математическое ожидание и дисперсия случайного процесса. Для расчета автоковариации и автокорреляции реальных процессов необходима информация о совместном распределении вероятностей уровней ряда p(x(t1),x(t2)).

Однако для стационарных процессов, находящихся в определенном статистическом равновесии, это распределение вероятностей одинаково для всех времен t1, t2 , разделенных одним и тем же интервалом.

Поскольку дисперсия стационарного процесса в любой момент времени (как в t, так и в t + k) равна D = g (0), то автокорреляция с задержкой k может быть выражена как [5, 312]

r (k) = g (k) /g (0),

откуда вытекает, что r (0) = 1. В тех же условиях стационарности коэффициент корреляции r (k) между двумя значениями временного ряда зависит лишь от величины временного интервала k и не зависит от самих моментов наблюдений t. Коэффициент автокорреляции может быть оценен и для нестационарного ряда, но в этом случае его вероятностная интерпретация теряется.

В статистике имеется несколько выборочных оценок теоретических значений автокорреляции r (k) процесса по конечному временному ряду из n наблюдений. Наиболее популярной оценкой является нециклический коэффициент автокорреляции с задержкой k (Андерсон, 1976; Вайну, 1977):

Наиболее важным из различных коэффициентов автокорреляции является первый – r1, измеряющий тесноту связи между уровнями x(1), x(2) ,…, x(n -1) и x(2), x(3), …, x(n).

Распределение коэффициентов автокорреляции неизвестно, позтому для оценки их достоверности иногда используют непараметрическую теорию Андерсона (1976), предложившего статистику [4, 112]

t = r1 (n -1)0.5 ,

которая при достаточно большой выборке распределена нормально, имеет нулевую среднюю и дисперсию, равную единице (Тинтнер, 1965).

Анализ деятельности предприятия

Анализ финансово-хозяйственной деятельности ОАО “Компания Х”

2.6.1 Оценка реальных активов. Коэффициент реальных активов в имуществе предприятия

Коэффициент реальных активов в имуществе предприятия следует выделить отдельным показателем, т. к. он в какой-то мере определяет сферу деятельности предприятия: занято предприятие производством продукции…

Анализ хозяйственной деятельности КУ ЖРЭП “ЖРЭТ Октябрьского района”

Коэффициент срочной ликвидности на начало и конец года близок к нормативу, следовательно, у предприятия достаточно ликвидных активов, за год коэффициент срочной ликвидности снизился на 0,2074 и составил 0,7096

Денежная политика государства и ее влияние на экономические процессы

1.3 Коэффициент монетизации

Рассмотрим другой важный компонент, на котором строится денежная политика государства. В отличие от формулы Фишера, здесь внимание обращено в большей степени на функцию накопления денег экономических агентов. Деньги, имеющиеся в хозяйстве…

Доходы населения России и их дифференциация

f2.2 Оценка дифференциации доходов населения. Кривая Лоренца и коэффициент Джини

Важнейшим инструментом анализа социально-экономической дифференциации населения является построение распределения населения по уровню среднедушевого денежного дохода…

Доходы населения: экономическая основа формирования и регулирования

1.2.2 Коэффициент Джини

Коэффициент Джини (Gini coefficient) – это количественный показатель, показывающий степень неравенства различных вариантов распределения доходов, разработанный итальянским экономистом, статистиком и демографом Коррадо Джини (1884-1965 г.г.)…

Исследование проблемы автокорреляции (первого порядка) случайных отклонений с помощью теста Сведа-Эйзенхарта и статистики Дарбина-Уотсона

f2. Методы выявления автокорреляции

Оценка рыночной стоимости здания офисного типа

5.6 Коэффициент дисконтирования

Коэффициент дисконтирования для n-го года эксплуатации здания () определяется по формуле: , (16) где: – ставка дисконтирования в k-ом году эксплуатации здания. Ставка дисконтирования по данным финансового рынка определена на уровне 19…

Оценка рыночной стоимости здания офисного типа

– коэффициент дисконтирования

1 год: DCF = 7315,31* 0,84 = 6145,1, тыс. руб.; 2 год: DCF =18615,3 * 0,69 = 12844,35, тыс. руб.; 3 год: DCF = 25531,35* 0,56 = 14297,55, тыс. руб.; 4 год: DCF = 28349,9* 0,45 = 12757,45, тыс. руб.; 5 год: DCF =31488,04 * 0,36 = 11336,1, тыс. руб. 5…

Современное состояние доходов населения в Ульяновской области

2.2 Оценка дифференциации доходов населения. Кривая Лоренца и коэффициент Джини

Важнейшим инструментом анализа социально-экономической дифференциации населения является построение распределения населения по уровню среднедушевого денежного дохода…

3.1 Коэффициент Фехнера

К простейшим показателям тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков – коэффициент Фехнера…

Коэффициент Фехнера

Цех 1 0,771 Цех 2 0,829 Цех 3 0,943 Цех 4 0…

f3.2 Коэффициент корреляции

Степень тесноты связи в статистике измеряют с помощью специального показателя, называемого коэффициентом корреляции:…

Коэффициент корреляции

Цех 1 0,963 Цех 2 0,942 Цех 3 0,975 Цех 4 0,952 Наиболее тесная связь между возрастом оборудования и эксплуатационными расходами наблюдается в третьем цехе, что подтверждается значениями коэффициентов Фехнера и коэффициента корреляции…

Статистический анализ безработицы в Приволжском федеральном округе (2000-2009гг.)

3.1 Выявление автокорреляции

Автокорреляция – это корреляционная зависимость между соседними рядами динамики. Она искажает данные корреляционного анализа…

Источник: http://econ.bobrodobro.ru/148

Корреляционная зависимость между уровнями взаимосвязанных рядов динамики

Значение коэффициента автокорреляции первого порядка характеризует

При изучении развития явления во времени часто возникает необходимость оценить степень взаимосвязи в изменениях уровней 2-х или более рядов динамики различного содержания, но связанных между собой. Эта задача решается методами коррелирования:

  • уровней ряда динамики
  • отклонений фактических уровней от тренда
  • последовательных разностей

Коррелирование уровней динамических рядов с применением парного коэффициента корреляции правильно показывает тесноту связи лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует  автокорреляция . Наличие зависимости между последующими и предшествую­щими уровнями динамического ряда в статистической литерату­ре называют  автокорреляцией .

Поэтому прежде, чем коррелировать ряды динамики по уровням, необходимо проверить каждый из рядов на наличие или отсутствие в них  автокорреляции .

Применение методов классической теории корреляции в ди­намических рядах связано с некоторыми особенностями.

Преж­де всего, это наличие для большинства динамических рядов зави­симости последующих уровней от предыдущих.

Коэффициент  автокорреляции  вычисляется по непосред­ственным данным рядов динамики, когда фактические уровни од­ного ряда рассматриваются как значения факторного признака, а уровни этого же ряда со сдвигом на один период, принимаются в качестве результативного признака (этот сдвиг называется лагом). Коэффициент  автокорреляции  рассчитывается на основе фор­мулы коэффициента корреляции для парной зависимости:

где:

  • yt – фактические уровни ряда,
  • yt+1– уровни того же ряда со сдвигом на 1 период (коэффициент  автокорреляции  первого порядка).

Примечание: во избежание путаницы, следует обратить внимание на порядок, по которому будет производиться сдвиг уровней, а именно, вниз или вверх. Соответственно и в формулах по разным источникам, ряд со сдвигом  отображают либо так yt-1  либо yt+1

Формула для расчета коэффициента  автокорреляции  уровней ряда 1-го порядка:

Формула для расчета коэффициента  автокорреляции  уровней ряда 2-го порядка:

Для суждения о наличии или отсутствии  автокорреляции  в исследуемом ряду, фактическое значение коэффициента  автокорреляции  сопоставляют с табличным для 5% или 1% уровня значимости (т. е.

 по величине вероятности допустить ошибку при принятии гипотезы о независимости уровней ряда).

Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии  автокорреляции  принимается и, наоборот, в противном случае, отвергается.

Последовательность коэффициентов  автокорреляции  1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов  автокорреляции  от величины лага (порядка коэффициента  автокорреляции ) называют коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру ряда, т. е. определить присутствие в ряде той или иной компоненты.

Так, если наиболее высоким оказался коэффициент  автокорреляции  первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию.

Если наиболее высоким оказался коэффициент  автокорреляции  порядка m, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в m моментов времени. Если же ни один из коэффициентов  автокорреляции  не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений:

  • либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
  • либо ряд содержит сильнуюнелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Необходимо подчеркнуть, что линейные коэффициенты  автокорреляции  характеризуют тесноту только линейной связи текущего и предыдущих уровней ряда. Поэтому, по коэффициентам  автокорреляции  можно судить только о наличии или отсутствии линейной зависимости(или близкой к линейной).

Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент  автокорреляции  уровней исходного ряда может приближаться к нулю. По знаку коэффициента  автокорреляции  нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда.

Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную  автокорреляцию  уровней, однако, при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Для проверки ряда на наличие нелинейной тенденции рекомендуется вычислить линейные коэффициенты  автокорреляции  для временного ряда, состоящего из логарифмов исходных уровней. Отличные от нуля значения коэффициентов  автокорреляции  будут свидетельствовать о наличии нелинейной тенденции.

Пример расчета:

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровень. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент  автокорреляции , уменьшается на 1.

Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов  автокорреляции  использовать правило: максимальный лаг не должен превышать n : 4 (n-число уровней ряда). Исходный ряд состоял из 8 уровней.

Расчет производится не по 8, а по 7 парам наблюдений. Получаем следующие данные:

yt140171490915333.515381.115548.822214.232267.6
yt — 11490915333.515381.115548.822214.232267.642597.5

Для расчета коэффициента  автокорреляции , необходимо рассчитать параметры уравнения авторегрессии:

Линейный коэффициент  автокорреляции  (L=1):

ytyt-1yt 2yt-1 2yt • yt-1
1401714909196476289222278281208979453
1490915333.5222278281235116222.25228607151.5
15333.515381.1235116222.25236578237.21235846096.85
15381.115548.8236578237.21241765181.44239157647.68
15548.822214.2241765181.44493470681.64345404152.96
22214.232267.6493470681.641041198009.76716798919.92
32267.642597.51041198009.761814547006.251374519091
129671.2158251.72666882902.34284953619.553349312512

Так как коэффициент  автокорреляции  первого порядка оказался высоким, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Проверка значимости коэффициента  автокорреляции  дает следующий результат:

По таблице распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=5 находим: tкрит (n-m-1; α/2) > (5; 0.025) = 2.571. Поскольку 2,16 (4; 0.025) = 2.776. Поскольку 1,730), то при проверке гипотез возможно возникновение следующих ситуаций:

  • Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критического значения его нижней границы DWd2, то нулевая гипотеза (H0) об отсутствии  автокорреляции  первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
  • Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится между верхней и нижней критическими границами d1

Источник: https://helpstat.ru/korrelyaczionnaya-zavisimost-mezhdu-urovnyami-vzaimosvyazannyh-ryadov-dinamiki/

Введение

Значение коэффициента автокорреляции первого порядка характеризует

Периодическая зависимость играть роль общего типа компонентов временного ряда. Не сложно заметить, что каждое наблюдение очень похоже на пограничное; к тому же имеется повторяющаяся периодическая составляющая, что означает, что каждое наблюдение также похоже на наблюдение, имевшееся в том же самое время период назад.

В общей сложности, периодическая зависимость может быть формально определена как корреляционная зависимость порядка n между каждым i-м элементом ряда и (i-n) – м элементом. Ее можно измерять с помощью автокорреляции (т.е.

корреляции между самими членами ряда); n обычно называют лагом (иногда используют эквивалентные термины: сдвиг, запаздывание).

Если оплошность измерения не слишком большая, то периодичность можно определить визуально, рассматривая поведение членов ряда через каждые n временных единиц.

Периодические составляющие временного ряда могут быть отысканы с помощью коррелограммы. Коррелограмма (автокоррелограмма) представляет численно и графически автокорреляционную функцию.

Другими словами, коэффициенты автокорреляции для последовательности шагов из определенного диапазона.

На коррелограмме просто отмечается диапазон в размере двух стандартных ошибок на каждом лаге, однако обычно величина автокорреляции более интересна, чем ее надежность, потому что интерес в основном представляют очень сильные автокорреляции [6, 207].

При изучении коррелограмм следует знать следующее: автокорреляции последовательных лагов формально зависимы между собой.

Рассмотрим пример. Если первый член ряда тесно связан со вторым, а второй с третьим, то первый элемент должен также каким-то образом зависеть от третьего и т.д. Это приводит к тому, что периодическая зависимость может существенно измениться после удаления автокорреляций первого порядка, (т.е. после взятия разности с лагом 1).

Цель работы:

1. Дать основные теоретические сведения

2. Дать примеры расчета АКФ

Коэффициент автокорреляции и его оценка

Для совершенной характеристики случайного движения недостаточно его математического ожидания и дисперсии. Вероятность того, что на определенном месте возникнут те или иные конкретные значения зависит от того, какие роли случайная величина получила раньше или будет получать позже.

Другими словами, существует поле рассеяния пар значений x(t), x (t+n) временного ряда, где n – постоянный интервал или задержка, которая характеризует зависимость последующих реализаций процесса от предыдущих. Теснота этой взаимосвязи оценивается коэффициентами автоковариации –

g (n) = E[(x(t) – m) (x (t + n) – m)] –

и автокорреляции

r (n) = E[(x(t) – m) (x (t + n) – m)] / D,

где m и D – математическое ожидание и дисперсия случайного процесса. Для расчета автоковариации и автокорреляции реальных процессов необходима информация о совместном распределении вероятностей уровней ряда p (x(t1), x(t2)).

r (n) = g (n) /g (0),

откуда вытекает, что r (0) = 1. В тех же условиях стационарности множитель корреляции r (n) между двумя значениями временного ряда зависит лишь от величины временного интервала n и не зависит от самих моментов наблюдений t. Коэффициент автокорреляции может быть оценен и для нестационарного ряда, но в этом случае его вероятностная интерпретация теряется.

В статистике имеется несколько выборочных оценок теоретических значений автокорреляции r (n) процесса по конечному временному ряду из n наблюдений. Наиболее популярной оценкой является нециклический коэффициент автокорреляции с задержкой n

Главным из различных коэффициентов автокорреляции является первый – r1, измеряющий тесноту связи между уровнями x(1), x(2),…, x (n -1) и x(2), x(3),…, x(n).

Распределение коэффициентов автокорреляции неизвестно, поэтому для оценки их правдивости иногда используют непараметрическую теорию Андерсона (1976), предложившего статистику [4, 112]

t = r1 (n -1)0.5,

которая при достаточно большой выборке распределена нормально, имеет нулевую среднюю и дисперсию, равную единице (Тинтнер, 1965).

Последовательность коэффициентов корреляции rn, где n = 1, 2,…, n, как функция интервала n между наблюдениями называется автокорреляционной функцией.

Вид выборочной автокорреляционной функции тесно связан со структурой ряда.

· Автокорреляционная функция rn для «белого шума», при n >0, также образует стационарный временной ряд со средним значением 0.

· Для стационарного ряда АКФ быстро убывает с ростом n. При наличии отчетливого тренда автокорреляционная функция приобретает характерный вид очень медленно спадающей кривой [3, 268].

· В случае выраженной сезонности в графике АКФ также присутствуют выбросы для запаздываний, кратных периоду сезонности, но эти выбросы могут быть завуалированы присутствием тренда или большой дисперсией случайной компоненты.

Рассмотрим примеры автокорреляционной функции:

· на рис. 1 представлен график АКФ, характеризующегося умеренным трендом и неясно выраженной сезонностью;

· рис. 2 демонстрирует АКФ ряда, характеризующегося феноменальной сезонной детерминантой;

· практически незатухающий график АКФ ряда (рис. 3) свидетельствует о наличии отчетливого тренда.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

В общем случае можно предполагать, что в рядах, состоящих из отклонений от тренда, автокорреляции нет. Например, на рис. 4 представлен график АКФ для остатков, полученных от сглаживания ряда, очень напоминающий процесс «белого шума». Однако нередки случаи, когда остатки (случайная компонента h) могут оказаться автокоррелированными, например, по следующим причинам [1, 172]:

· в детерминированных или стохастических моделях динамики не учтен существенный фактор фактически, нарушен принцип омнипотентности

· в модели не учтено несколько несущественных факторов, взаимное влияние которых оказывается существенным вследствие совпадения фаз и направлений их изменения;

· выбран неправильный тип модели (нарушен принцип контринтуитивности);

· случайная компонента имеет специфическую структуру.

Рис. 4.

Критерий Дарбина-Уотсона

Критерий Дарбина-Уотсона (Durbin, 1969) представляет собой распространенную статистику, предназначенную для тестирования наличия автокорреляции остатков первого порядка после сглаживания ряда или в регрессионных моделях.

Численное значение коэффициента равно

d = [(e(2) – e(1))2 +… + (e(n) – e (n -1))2]/[e(1)2 +… + e(n)2],

где e(t) – остатки.

Возможные значения критерия находятся в интервале от 0 до 4, причем табулированы его табличные пороговые значения для разных уровней значимости (Лизер, 1971).

Значение d близко к величине 2*(1 – r1), где r – выборочный коэффициент автокорреляции для остатков. Соответственно, идеальное значение статистики – 2 (автокорреляция отсутствует). Меньшие значения соответствуют положительной автокорреляции остатков, большие – отрицательной [2, 193].

Например, после сглаживания ряда ряд остатков имеет критерий d = 1.912. Аналогичная статистика после сглаживания ряда – d = 1.638 – свидетельствует о некоторой автокоррелированности остатков.

Page 3

< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая >

Перейти к загрузке файла

Все данные взяты с сайта http://e3.prime-tass.ru/macro/

Пример 1. ВВП РФ

Приведем данные о ВВП РФ

Год

квартал

ВВП

первая разность

2001

I

1900,9

II

2105,0

204,1

III

2487,9

382,9

IV

2449,8

-38,1

2002

I

2259,5

-190,3

II

2525,7

266,2

III

3009,2

483,5

IV

3023,1

13,9

2003

I

2850,7

-172,4

II

3107,8

257,1

III

3629,8

522,0

IV

3655,0

25,2

2004

I

3516,8

-138,2

II

3969,8

453,0

III

4615,2

645,4

IV

4946,4

331,2

2005

I

4479,2

-467,2

II

5172,9

693,7

III

5871,7

698,8

IV

6096,2

224,5

2006

I

5661,8

-434,4

II

6325,8

664,0

III

7248,1

922,3

IV

7545,4

297,3

2007

I

6566,2

-979,2

II

7647,5

1081,3

Исследуем ряд

На диаграммах показаны: исходный ряд (сверху) и автокорреляционная функция до лага 9 (снизу). На нижней диаграмме штриховой линией обозначен уровень «белого шума» – граница статистической значимости коэффициентов корреляции.

Видно, что имеется сильная корреляция 1 и 2 порядка, соседних членов ряда, но и удаленных на 1 единицу времени друг от друга. Корреляционные коэффициенты значительно превышают уровень «белого шума».

По графику автокорреляции видим наличие четкого тренда.

Ниже даны значения автокорреляционной функции и уровня белого шума

АКФ(…)

Ошибка АКФ

1

0,856

0,203

-0,203

2

0,762

0,616

-0,616

3

0,658

0,747

-0,747

4

0,550

0,831

-0,831

5

0,418

0,885

-0,885

6

0,315

0,915

-0,915

7

0,224

0,932

-0,932

8

0,131

0,940

-0,940

Источник: https://studbooks.net/2186798/matematika_himiya_fizika/teoreticheskie_svedeniya

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.