Значение функции

Содержание

Числовые функции

Значение функции

Функ­ци­ей на­зы­ва­ет­ся закон f, по ко­то­ро­му каж­до­му эле­мен­ту x∈X ста­вит­ся в со­от­вет­ствие един­ствен­ный эле­мент y.

1.  (гра­фик функ­ции – па­ра­бо­ла);

2.  (функ­ция об­рат­ная про­пор­ци­о­наль­ность, гра­фик функ­ции – ги­пер­бо­ла);

3.  (ли­ней­ная функ­ция, гра­фик функ­ции – пря­мая);

4.  (квад­ра­тич­ная функ­ция, гра­фик функ­ции – па­ра­бо­ла);

5.  (гра­фик функ­ции – ветвь па­ра­бо­лы);

Рис. 1. Гра­фик функ­ции .

Функ­ций много, но все за­да­ют­ся по пра­ви­лу: каж­до­му эле­мен­ту  ста­вит­ся в со­от­вет­ствие един­ствен­ный эле­мент .

На­при­мер, для функ­ции   при .

По­ня­тие функ­ции яв­ля­ет­ся важ­ней­шим в ма­те­ма­ти­ке. Важны все эле­мен­ты, за­да­ю­щие функ­цию.

Мно­же­ство всех до­пу­сти­мых зна­че­ний ар­гу­мен­та  на­зы­ва­ет­ся об­ла­стью опре­де­ле­ния функ­ции и обо­зна­ча­ет­ся . E(f) – об­ласть зна­че­ния.

В слу­чае, когда , функ­цию на­зы­ва­ют чис­ло­вой.

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров на на­хож­де­ние есте­ствен­ной об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ции (так го­во­рят, если мно­же­ство  не за­да­но).

1. .  Ответ: .

2. .  Ответ: , т.к. нель­зя де­лить на 0.

3. .  Ответ: , т.к. нель­зя из­вле­кать квад­рат­ный ко­рень из от­ри­ца­тель­ных чисел.

4. .  Ответ: .

5. .  Ответ: .

6. .  Ответ: .

Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции – важ­ней­ший эле­мент функ­ции. Если при за­да­нии функ­ции мно­же­ство   не за­да­но, то об­ласть опре­де­ле­ния счи­та­ет­ся есте­ствен­ной, т.е. сов­па­да­ю­щей с об­ла­стью опре­де­ле­ния вы­ра­же­ния .

При­ме­ры.

1. Найти об­ласть опре­де­ле­ния и по­стро­ить гра­фик функ­ции . 

Ответ:  (есте­ствен­ная об­ласть опре­де­ле­ния).

Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла (см. Рис.1).

2. Найти об­ласть опре­де­ле­ния и по­стро­ить гра­фик функ­ции . 

Ответ: .

Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся часть па­ра­бо­лы (см. Рис.2).

Рис. 2. Гра­фик функ­ции . 

Об­ласть опре­де­ле­ния все­гда при­сут­ству­ет при за­да­нии функ­ции: то ли в явном виде, то ли счи­та­ет­ся есте­ствен­ной об­ла­стью опре­де­ле­ния.

3. Область значений функции

При из­ме­не­нии ар­гу­мен­та из об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ции зна­че­ния функ­ции ме­ня­ют­ся на своем мно­же­стве.

Все зна­че­ния, ко­то­рые при­ни­ма­ет за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, об­ра­зу­ют об­ласть зна­че­ний функ­ции, ко­то­рая обо­зна­ча­ет­ся .

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров на на­хож­де­ние об­ла­сти зна­че­ний функ­ции.

1. ,  ; . Ответ: . См. Рис. 1.

2. ,  ; . Ответ: . См. Рис. 2.

Рис. 3.

4. Основные свойства 

Рас­смот­рим функ­цию  и «про­чтем» её гра­фик (см. рис. 1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции

1.  – про­ек­ция на ось ;

2.  – про­ек­ция на ось ;

3.  – корни (нули функ­ции);

4. ;

5. .

В целом функ­ция не мо­но­тон­на. Рас­смот­рим про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти.

6. воз­рас­та­ет при , то есть боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции (мо­но­тон­ность «в горку»);

7. убы­ва­ет при , то есть боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции (мо­но­тон­ность «под горку»).

Возрастающая функция

Рис. 2. Гра­фик воз­рас­та­ю­щей функ­ции

Опре­де­ле­ние. Функ­цию  на­зы­ва­ют воз­рас­та­ю­щей на мно­же­стве , если для любых  и  из мно­же­ства , таких, что , вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство .

Разъ­яс­не­ние: боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции (см. рис. 2).

Убывающая функция

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют убы­ва­ю­щей на мно­же­стве , если для любых   мно­же­ства, таких, что , вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство.

Разъ­яс­не­ние: боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции (см. рис. 3).

Рис. 3. Гра­фик убы­ва­ю­щей функ­ции

Ограниченная снизу функция

Рис. 4. Гра­фик огра­ни­чен­ной снизу функ­ции

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют огра­ни­чен­ной снизу на мно­же­стве , если все зна­че­ния функ­ции на мно­же­стве боль­ше неко­то­ро­го числа (иными сло­ва­ми, если су­ще­ству­ет число  такое, что для лю­бо­го зна­че­ния  вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство ) (см. рис. 4).

Ограниченная сверху функция

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют огра­ни­чен­ной свер­ху на мно­же­стве, если все зна­че­ния функ­ции мень­ше неко­то­ро­го числа (иными сло­ва­ми, если су­ще­ству­ет число  такое, что для лю­бо­го зна­че­ния  вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство  ) (см. рис. 5).

Рис. 5. Гра­фик огра­ни­чен­ной свер­ху

Наименьшее значение функции

Рис. 6. Гра­фик и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

Опре­де­ле­ние. Число  на­зы­ва­ют наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции  на мно­же­стве , если:

1. В су­ще­ству­ет такая точка , что .

2. Для всех вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство .

Ясно, что, если у функ­ции су­ще­ству­ет  , то она огра­ни­че­на снизу (см. рис. 6).

Наибольшее значение функции

Опре­де­ле­ние. Число  на­зы­ва­ют наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции  на мно­же­стве , если:

1) в су­ще­ству­ет такая точка , что ;

2) для всех вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство .

Ясно, что, если у функ­ции су­ще­ству­ет , то она огра­ни­че­на свер­ху (см. рис.7).

Рис. 7. Гра­фик и наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

Понятие выпуклой функции

Функ­ция вы­пук­ла вниз на мно­же­стве  (кри­вая под от­рез­ком) (см. рис.8).

Рис. 8. Гра­фик вы­пук­лой вниз функ­ции

Рис. 9. Гра­фик вы­пук­лой вверх функ­ции

Функ­ция вы­пук­ла вверх на мно­же­стве (кри­вая над от­рез­ком) (см.рис. 9).

Понятие непрерывной функции

Рис. 10. Гра­фик непре­рыв­ной на от­рез­ке функ­ции

Непре­рыв­ность функ­ции на про­ме­жут­ке озна­ча­ет: гра­фик сплош­ной, без про­ко­лов и скач­ков (см. рис.10).

Рис. 11. Гра­фик функ­ции

При­мер функ­ции, ко­то­рая не яв­ля­ет­ся непре­рыв­ной (см. рис. 11):

.

.

Пример конкретной функции

По­стро­ить гра­фик функ­ции  и «про­честь» его, ука­зать .

Ре­ше­ние. Гра­фик функ­ции на рис. 12.

 .

Ответ: 1) ;

2) ;

3)  воз­рас­та­ет при ;

4)  убы­ва­ет при ;

5) .

Рис. 12. Гра­фик функ­ции

Источник: http://ya-znau.ru/znaniya/zn/120

Функция, аргумент, значение функции

Значение функции

Конечно же язык математики невероятно прост и универсален, пример тому – выше приведенное уравнение (538.1), прочитать которое сможет любой грамотный гражданин нашей планеты вне зависимости от того, на каком языке он разговаривает. А вот что означает данное уравнение, мы сейчас и попробуем выяснить.

Начнем с элементарного:

Неизвестная величина

Как правило жизнь ставит перед нами не очень сложные задачи и решаем мы их с легкостью. Например: если один пирожок стоит 3 рубля, а мы хотим купить 2 пирожка, то сколько для этого нам потребуется денег?

Ответ на первый взгляд очевиден и вроде бы никакого особого решения не требует: 6 рублей. Но давайте подойдем к этой ситуации с точки зрения математики и запишем соответствующие уравнения сначала с необходимыми пояснениями в скобках:

х (требуемое количество денег) = 2 (пирожка) · 3 (рубля/пирожок) (538.2.1)

х (требуемое количество денег) = 6 (рублей) (538.2.2)

При умножении пирожки сокращаются и остаются только рубли. Если использовать чистую математическую запись, т.е. без пояснения в скобках, то это будет выглядеть так:

х = 2 · 3 (538.3.1)

х = 6 (538.3.2)

В данном случае неизвестное изначально количество денег, необходимых для покупки 2 пирожков – это и есть та самая неизвестная величина х, которую нам нужно определить.

Как правило в начальных классах школы на этом даже акцент не делается, детям просто предлагаются к решению задачи по определению неизвестной величины в виде:

5 + 2, определите сумму (538.4.1)

или

9 : 3, определите частное (538.4.2)

Но на мой взгляд это не правильно. Детей, начиная с начальных классов, следует готовить к определению неизвестной величины и в подобных случаях формулировка задания должна выглядеть примерно так:

5 + 2 = х или х = 5 + 2 – сделайте неизвестную величину х известной (538.4.1.2)

9 : 3 = х или х = 9 : 3 – определите неизвестную величину х (538.4.2.2)

Постоянная неизвестная величина

В приведенных выше уравнениях (538.3 и 4) неизвестная величина х может иметь только одно значение. Поэтому такая величина называется постоянной (хотя варианты обсчета продавцом не исключены, но к теме данной статьи это никак не относится).

При этом уравнений, при решении которых требуется определить эту самую постоянную неизвестную величину, может быть бесконечное количество. Вот только на решение этих самых уравнений это никак не влияет.

Если в уравнении, каким бы сложным оно ни было, есть только одна неизвестная величина, то такая величина является постоянной.

Вообще-то постоянные неизвестные величины более правильно обозначать литерами а, b, c и др. Впрочем в уравнениях с одной неизвестной, а потому постоянной величиной это большого значения не имеет и неизвестная величина часто обозначается литерой х.

Переменные неизвестные величины

Иногда жизнь ставит перед нами более сложные задачи. Например, мы по-прежнему хотим купить 2 пирожка, но еще не определились с выбором, так как пирожков с различной начинкой на рынке много и цена у них разная, от 3 до 30 рублей, а денег в кармане мало.

В этом случае с точки зрения математики разная цена пирожков становится переменной величиной х, а требуемая сумма денег для покупки пирожков – переменной величиной у, зависящей от значения переменной х. Языком математики эту зависимость можно выразить так:

у = 2 · х (538.5)

Т.е если один пирожок стоит 3 рубля, то нам для приобретения 2 пирожков потребуется как и прежде 6 рублей, а если мы хотим купить 2 пирожка, стоящих по 30 рублей каждый, то нам потребуется уже 60 рублей. Это конечно еще не высшая математика, но очень близко к тому.

В данном случае переменная х – возможная цена пирожка – это аргумент функции (или аргумент продавца, расхваливающего различные начинки пирожков).

От нашего желания купить пирожков побольше и подешевле цена никак не зависит, поэтому переменная х является независимой переменной.

А вот переменная у – необходимое количество денег, которое мы готовы потратить на покупку 2 пирожков, зависит и от нашего желания сэкономить и от значения переменной х.

Часто переменные величины называются просто переменными, а уравнения с двумя переменными – функциональными уравнениями.

Область определения функции

Как правило простые уравнения с одной неизвестной постоянной величиной вида (538.4.1.2) имеют только одно решение. В уравнениях с двумя неизвестными вида (538.

5) решений может быть столько, сколько существует возможных значений переменной х. Т.е.

если на рынке есть пирожки с 10 различными ценами, то нам, чтобы определить все возможные значения у, нужно решить уравнение (538.5) 10 раз, а если пирожки со 100 различными ценами, то 100 раз.

А все это ценовое разнообразие от 3 до 30 рублей и будет областью определения функции

Примечание: Вообще в данном случае возможно еще большее ценовое разнообразие, если цена пирожков будет изменяться с шагом в 1 копейку.

При этом минимальная цена – 3 рубля за пирожок – будет нижним пределом функции, а максимальная – 30 рублей за пирожок – верхним пределом функции.

Функция

Даже такие относительно простые уравнения как (538.5), решать 100 раз очень долго. А ведь уравнения бывают гораздо более сложными, а область определения практически бесконечной.

Для таких случаев и придумано понятие функции. Т.е. функция – это не только обозначение связи между неизвестными переменными, но еще и как бы обозначение действий, которые необходимо совершить для определения значения функции. Возможно поэтому и выбрано название “функция”, от латинского functio – исполнение, совершение, осуществление.

При этом математическая запись следующего вида:

у = f(x) = x · 2 (538.5.2)

означает, что у является функцией аргумента х, а для определения значения функции – переменной у – достаточно значение аргумента функции – независимой переменной х – умножить на 2.

График функции

А еще это означает, что решать уравнение для всех возможных значений х нет необходимости. Для функции можно построить график, т.е. отобразить зависимость у от х визуально.

Для этого используется плоская система координат с осями х и у.

Соответственно по оси х откладывается значение переменной х, а по оси у значение переменной у, определенной для этого значения х.

В простых случаях, т.е. когда между переменными существует линейная зависимость, для построения графика достаточно знать координаты 2 точек. Например для функции f(x) = 2х в пределах от 0 до 4 график будет выглядеть так:

Рисунок 538.1. График функции f(x) = 2x.

Сначала мы определяем значения функции для нижнего (х = 0) и верхнего (х = 4) пределов: f(0) = 2·0 = 0, f(4) = 2·4 = 8. Эти результаты и будут координатами точек (показаны на рисунке 538.1 красным цветом), через которые проходит график функции. Прямая, соединяющая эти точки (показана на рисунке 538.1 синим цветом) – это и есть график рассматриваемой функции.

Таким образом, для всех промежуточных значений х, а это могут быть не только натуральные (т.е. целые) числа, мы можем определять значения у по графику.

Для этого достаточно провести вертикальную линию из точки, обозначающей значение х, до графика (показан на рисунке 538.1 синей линией), а затем провести горизонтальную линию из точки пересечения вертикальной линии и графика.

Пересечение горизонтальной линии с осью у покажет значение переменной у для соответствующего значения х. На рисунке 538.1 подобные действия не показаны, чтобы не усложнять график.

Более того, понятие функции применимо и к простым уравнениям, содержащим только одну неизвестную, а потому постоянную величину, и для таких уравнений тоже можно построить график. Например, уравнение у = 7 – 2 можно записать так: у = f(x) = 5 и тогда графиком функции будет прямая горизонтальная линия, проходящая на высоте 5 делений от оси х.

А теперь несколько слов о том, зачем все это может понадобиться например при изучении теоретической механики или теории сопротивления материалов.

При расчете строительных конструкций, например балок, необходимо определить значение поперечных сил и моментов, действующих в различных сечениях балки, а также углы поворота и перемещения нейтральной оси балки. Для этого строятся эпюры поперечных сил, моментов, углов поворота и прогиба. Так вот эти эпюры и есть графики соответствующих функций.

При этом длина балки l измеряется по оси х, соответственно нижний предел функции х = 0, а верхний предел функции х = l.

Например уравнение моментов М(х) = qlx/2 – qx2/2 при действии на балку равномерно распределенной нагрузки в обще виде можно записать так:

у = f(x) = qlx/2 – qx2/2 (538.6)

Но на этом увлекательный мир уравнений, а также функций, их аргументов и т.п. не заканчивается, а только начинается. Следующий уровень сложности – это дифференциальные уравнения, когда одна из неизвестных величин является производной или дифференциалом второй неизвестной величины, но это уже отдельная большая тема.

Источник: http://DoctorLom.com/item538.html

Определение функции

Значение функции

Определение функции, области задания и множества значений. Определения, связанные с обозначением функции. Определения сложной, числовой, действительной, монотонной и многозначной функции. Определения максимума, минимума, верхней и нижней граней для ограниченных функций.

Функцией y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y.

Множество X называется областью определения функции.
Множество элементов y ∈ Y, которые имеют прообразы во множестве X, называется множеством значений функции (или областью значений).

Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.

Само отображение  f  называется характеристикой функции.

Характеристика  f  обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y – это элемент из множества значений функции, а – это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y.

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X. Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y. На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y.

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции  f  называется множество пар .

Сложные функции

Определение
Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g. Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x, а этому x соответствует y. Такое соответствие называют сложной функцией:  .

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так:  .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие.

Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики.

Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и – это различные функции.

При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и – это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности – это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений – вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора .

Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения – это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов – “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция – это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция – это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M, что для всех выполняется неравенство:
.

Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех :
.

Максимумом M (минимумом m) функции f, на некотором множестве X называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′: .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Верхней гранью неограниченной сверху функции является бесконечно удаленная точка .

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′: .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X, имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу – значением 0:
для всех . Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:

.

Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X. Функция называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
.

Определение монотонной функции
Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус: . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1)   .
При заданном значении независимой переменной x, принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2)   .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n)   ,
где n – целое. В результате, для каждого значения n, мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией. А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функцией.

Многозначная функция – это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции – это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция – это функция.

Использованная литература: О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/predel-funktsii/opredelenie-funktsii/

Значение функции

Значение функции

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция[1][2][3].

Определение

Пусть на множестве X {\displaystyle X} задана функция f {\displaystyle f} , которая отображает множество X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} .

Тогда областью (или множеством) значений функции f {\displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y {\displaystyle Y} и обозначается f ( X ) {\displaystyle f(X)} :

f ( X ) = y ∈ Y {\displaystyle f(X)=\y\in Y} .

Множество значений функции f {\displaystyle f} обозначается также символами E ( f ) {\displaystyle E(f)} , R ( f ) {\displaystyle R(f)} или r a n f {\displaystyle \mathrm {ran} \,f} (от англ. range).

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называют её кодомен, то есть множество Y {\displaystyle Y} в обозначении функции f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} [4], сохраняя термин множество значений для обозначения совокупности всех значений функции f {\displaystyle f} .

Множество значений f ( X ) {\displaystyle f(X)} называется также образом множества X {\displaystyle X} при отображении f {\displaystyle f} .

Иногда множество значений функции называют множеством всех значений или областью изменения функции[3].

ru.wikipedia.org

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения

Основные данные о работе

Версия шаблона2.1
ЦДОР
Вид работыТворческое эссе
Название дисциплиныМатематика (курс 13)
ТемаПонятие и свойства функции. Область определения и область значения.
Фамилия
Имя
Отчество
№ контракта

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения……………3

Список использованных интернет-ресурсов……………………………………………9

Основная часть

Понятие и свойства функции. Область определения и область значения

1.Фукция и её свойства.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — это математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Так же можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины.

Так значение переменной однозначно определяет значение выражения, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, а также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца.

Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем в 1692 год. В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному.

Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, которое дал Эйлер в 1751 год, затем — Лакруа в 1806 год — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским в 1834 году и Дирихле в 1837 году.

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Функция – это зависимость переменной у от переменной х, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х – это независимая переменная или аргумент.

Переменная у – это зависимая переменная.

Значение функции – это значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции – это все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- это все значения, которые принимает функция.

Функция является четной – если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(х)=f(-х)

Функция является нечетной – если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)=-f(х)

Возрастающая функция – если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)

Убывающая функция – если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

2. Способы задания функции.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее часто употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(х), где f(х) – с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При данном способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами такого табличного задания функции являются: таблица квадратов и таблица кубов.

2. Виды функций и их свойства.

1) Постоянная функция- это функция, заданная формулой у=b, где b- это некоторое число.

Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат.

2) Прямая пропорциональность – это функция, заданная формулой у=kx, где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел;

2. y=kx – нечетная функция;

3. При k>0 функция возрастает, а при k

3)Линейная функция- это функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b- это действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения – множество всех действительных чисел;

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни четна, ни нечётна;

3. При k>0функция возрастает, а при k

Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность – это функция, заданная формулой y=k/х, где k¹0.

Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения – множество всех действительных чисел кроме нуля;

2. y=k/x – нечетная функция;

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+ ¥) и на промежутке (-;¥0). Если k

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x2

Свойства функции y=x2:

1. Область определения – вся числовая прямая;

2. y=x2 – четная функция;

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает;

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает.

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x3

Свойства функции y=x3:

1. Область определения – вся числовая прямая;

2. y=x3 – нечетная функция;

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

Графиком функции является кубическая парабола.

7)Степенная функция с натуральным показателем – это функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- это произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2.

График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем – это функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- это нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция y=x-n

обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x-2:

1. Функция определена при всех x¹0;

2. y=x-2 – четная функция;

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0). Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=Öх

Свойства функции y=Öх:

1. Область определения – луч [0;+¥);

2. Функция y=Öх – общего вида;

3. Функция возрастает на луче [0;+¥).

10)Функция y=3Öх

Свойства функции y=3Öх:

1. Область определения- вся числовая прямая;

2. Функция y=3Öх нечетна;

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y=nÖх

При четном n функция обладает такими же свойствами, что и функция y=Öх.

При нечетном n функция y=nÖх обладает такими же свойствами, что и функция y=3Öх.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем – это функция, заданная формулой y=xr, где r- это положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=xr:

1.Область определения- луч [0;+¥);

2. Функция общего вида;

3. Функция возрастает на [0;+¥).

13) Степенная функция с отрицательным дробным показателем – функция, заданная формулой y=x-r, где r – это положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x-r:

1. Обл. определения – промежуток (0;+¥);

2. Функция общего вида;

3. Функция убывает на (0;+¥).

14)Обратная функция .

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке х и областью ее значений является промежуток у, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на у. Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), нужно график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция- это функция, аргументом которой является другая любая функция. Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получаем: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не сразу возникло в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике.

Впервые термин “функция” ввел в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы.

Таким образом, понятие функции носит у Лейбница “геометрический налет”. Ученик Лейбница, Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя.

Он дал более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: “функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных”.

studopedia.ru

Что такое область значения функции? мне нужно определение

Катя

Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех .

Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения . Область значений функции обозначают как E(f). Область значений функции и множество значений функции – это не одно и то же.

Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.

Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений функции (ОДЗ) . Область допустимых значений функции – это есть область определения функции.

“,”word_count”:1665,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: https://zna4enie.ru/opredelenie/znachenie-funkcii.html

Значение слова «Функция»

Значение функции

  • .

  • А
  • Б
  • В
  • Г
  • Д
  • Е
  • Ж
  • З
  • И
  • Й
  • К
  • Л
  • М
  • Н
  • О
  • П
  • Р
  • С
  • Т
  • У
  • Ф
  • Х
  • Ц
  • Ч
  • Ш
  • Щ
  • Ъ
  • Ы
  • Э
  • Ю
  • Я

значением слова:

ж. математ. обозначенье действий над количествами. | Физиол.отправленье членами тела своих действий.

В словаре ожегова

ФУНКЦИЯ, -и, ас. 1. В философии: явление, зависящее от другого и изменяющееся по мере изменения этого другого явления. 2. В математике: закон, по к-рому каждому значению переменной величины (аргумента) ставится в соответствие нек-рая определенная величина, а также сама эта величина. Линейная ф.

(меняющаяся прямо пропорционально изменению своего аргумента). 3. Работа производимая органом, организмом (книжн.). Ф. желез. 4. Роль, значение чего-н. (книжн.). Функции кредита. 5. Обязанность, круг деятельности (книжн.). Служебные функции. Функции профкома. || прил.

функциональный, -ая, -ое (к 1, 2, 3 и 4 знач.).

В словаре ефремовой

Ударение: фу́нкция

  1. ж.
    1. Зависимая переменная величина (в математике).
  2. ж.
    1. Проявление жизнедеятельности организма, тканей, клеток и т.п. (в физиологии).
  3. ж.

    1. Явление, зависящее от другого, основного явления и служащее формой его проявления или осуществления.
      1. перен. Обязанность, круг деятельности, подлежащая исполнению работа.
      2. Значение, назначение, роль.

В словаре д.н. ушакова

ФУ́НКЦИЯ, функции, ·жен. (·лат. functio – выполнение работы).
1. Явление, зависящее от другого и изменяющееся по мере изменения этого другого явления (·книж. ).
2.

Переменная величина, меняющаяся в зависимости от изменения другой величины (мат.). Величина давления газа есть функция величины его объема.
3. Работа, производимая органом, организмом (биол., физиол.).

Отделение слюны является основной функцией слюнной железы.
4. перен. Обязанность, круг деятельности чего-нибудь, подлежащая исполнению работа (·книж. ). Служебные функции. Исполнять свою функцию в обществе. Функции государственного управления.

5. Значение, назначение, роль (·книж. ). Функция математического знака. Функция родительного падежа.

В словаре синонимов

назначение; выражение, связка; занятие; отправления, цель, функционирование, ипостась, круг обязанностей, деятельность, дело, жизнедеятельность, формфактор, мажоранта, роль, предназначение, работа, тотиент, обязанности, миссия

В словаре энциклопедии

в математике -..1) зависимая переменная величина…2) Соответствие y = f (x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента, или независимого переменного) соответствует определенное значение другой величины y (зависимой переменной, или функции).

Такое соответствие может быть задано различным образом, напр. формулой, графически или таблицей (типа таблицы логарифмов). С помощью функции математически выражаются многообразные количественные закономерности в природе.—(от лат. functio – исполнение, осуществление),..

1) деятельность, обязанность, работа; внешнее проявление свойств какого-либо объекта в данной системе отношений (напр., функция органов чувств, функция денег)…2) Функция в социологии – роль, которую выполняет определенный социальный институт или процесс по отношению к целому (напр., функция государства, семьи и т. д.

в обществе)…3) В лингвистике – назначение, роль (иногда и значение) языковой единицы или элемента языковой структуры.

В словаре медицинских терминов

(лат. functio деятельность) в физиологи деятельность и свойство клетки, органа и системы организма, проявляющиеся как физиологический процесс или совокупность процессов.

В словаре синонимов 3

См. занятие” title='занятие, занятие синонимы, синонимы к занятие, словарь русских синонимов'>занятие…

В словаре синонимы 4

арккосеканс, арккосинус, арккотангенс, арксеканс, арксинус, арктангенс, гамма-функция, гипофункция, дельта-функция, значение, ипостась, косеканс, косинус, котангенс, мажоранта, миноранта, назначение, обязанность, предназначение, работа, роль, секанс, синус, тангенс, тотиент, формфактор, эйконал

В словаре полная акцентуированная парадигма по а. а. зализня

фу́нкция,фу́нкции,фу́нкции,фу́нкций,фу́нкции,фу́нкциям,фу́нкцию,фу́нкции,фу́нкцией,фу́нкциею,фу́нкциями,фу́нкции,фу́нкциях

1. Обязанность, круг деятельности, назначение. В чем состоят мои функции?

2. мат. Переменная величина, меняющаяся в зависимости от изменений другой величины (ар-гумента).

3. перен. Явление, зависящее от другого и изменяющееся по мере изменения этого другого явления. Увеличение спроса на товары – ф. их качества.

4. физиол. Работа, производимая живым организмом, его органами, тканями и клетками. ф. печени.

Источник: https://glosum.ru/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0-%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.