Стереометрия основные понятия и определения

Стереометрия основные понятия и определения

Стереометрия основные понятия и определения

“Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей”

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых.Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если ac и bc, то ab).

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскостиТеорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

StudFiles.ru

Стереометрия

Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» — «твёрдый, объёмный, пространственный» и μετρέω, «метрео» — «измеряю») — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.

В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые.

Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии

  • На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
  • В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
  • Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
  • Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
  • Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
  • Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
  • Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
    1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
    2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
  • Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми .

Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань .

Литература

  • В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989.
  • И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. — 160 с. (Библиотечка «Квант», Выпуск 31).
Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Разделы математики

Портал «Наука»
Основания математики Теория множеств Математическая логика алгебра логики
Теория чисел (арифметика)
Алгебра Общая алгебра

Элементарная алгебра  • Линейная алгебра (Полилинейная алгебра)  • Общая алгебра
Коммутативная алгебра  • Теория представлений  • Дифференциальная алгебра  • Гомологическая алгебра  • Универсальная алгебра  • Теория категорий
Анализ Классический анализ Теория функций Дифференциальные и интегральные уравнения

Дифференциальное исчисление • Интегральное исчисление
Теория функций вещественного переменного • Теория меры • Комплексный анализ • Кватернионный анализ • Функциональный анализ • Вариационное исчисление • Гармонический анализ
Обыкновенные дифференциальные уравнения • Уравнения в частных производных • Динамические системы и эргодическая теория • Интегральные уравнения
Векторный анализ • Глобальный анализ • Теория катастроф • Нестандартный анализ • Гладкий инфинитезимальный анализ
Геометрия и топология Геометрия Топология

Алгебраическая геометрия  • Аналитическая геометрия  • Евклидова геометрия  • Неевклидова геометрия  • Планиметрия  • Стереометрия  • Тригонометрия
Общая топология  • Алгебраическая топология  • Дифференциальная геометрия и топология
Дискретная математика

Комбинаторика  • Теория графов
Прикладная математика

  • Математическая физика
  • Математическая химия
  • Математическая статистика
  • Математическое моделирование
  • Теория алгоритмов
  • Численные методы
  • Математическая экономика
  • Финансовая математика
  • Теория вероятностей
  • Исследование операций
  • Теория игр
  • Портал «Математика»
  • Категория «Математика»

ru.wikipedia.org

Какие основные понятия и аксиомы стереометрии

Грустный мир

А1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и проитом тока одна. А2 Если 2 точ прямой лежат в плоскости то все точ. этой прямой лежат в плоскости. А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общию прямую на которой лежать все общие точки. Следствия: 1. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

Юрий малихов

Тут нужно уточнить. Любое из этих трех высказываний можно взять исходно за аксиому. Тогда остальные два будут теоремами, доказываемыми на основе взятой аксиомы: 1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом тока одна. 2. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

Алексей рябчиков

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура – плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С и т. д., а прямые – строчными латинскими буквами а, Ь, с И т. д. или двумя прописными латинскими буквами АВ, CD и т. д. Плоскости будем обозначать греческими буквами а, Р, Y и т. д. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области .

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии. Мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Ниже они обозначены А:, А1, А2. A3.

А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью ABC. Отметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость.

Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т. е. опирается на три “точки”, а конец четвертой ножки (четвертая “точка”) не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую. Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки “ровности” чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола.

Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет.” Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются . А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

Источник: https://zna4enie.ru/opredelenie/stereometrija-osnovnye-ponjatija-i-opredelenija.html

Уроков Урок № Тема: «Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии»

Стереометрия основные понятия и определения

Сохрани ссылку в одной из сетей:

СТ Е Р Е О М Е Т Р И Я

Введение.(6 уроков)

Урок№ 1.Тема: «Предмет стереометрии. Аксиомыстереометрии».

плоскостей впространстве

1.Предмет стереометрии.Геометрические тела. Примеры различныхтел вокруг нас.

СТЕРЕОМЕТРИЯ – этораздел геометрии, в котором изучаютсясвойства фигур в пространстве. Слово«стереометрия» происходит от греческихслов «стереос» – объёмный, пространственныйи «метрио» – измерять.

2.Основные неопределяемые понятиястереометрии: точки, прямые,плоскости. В «Началах»Евклида даны следующие формулировки:

-Точка есть то, что не имеетчастей.

-Линия есть длина без ширины.

-Границы линии суть точки.

-Поверхность есть то, что имееттолько длину и ширину.

-Границы поверхности суть линии.

Эти определения Евклида являютсялишь описаниями геометрических образов.Для доказательства теорем в «Началах»эти определения не применялись.

Современное строго дедуктивноеизложение геометрии, отражённое,например, в системе Гильберта не даётпрямого определения основным объектамгеометрии: точке, прямой,плоскости, а также отношениям:принадлежит, между,конгруэнтный (совместимый при наложении).

Эти объекты не связываются ни скакими представлениями о конкретныхпредметах. То, что необходимо знать оних излагается в аксиомах, которые являются, таким образом, косвенными ихопределениями.

3.Современные обозначения такжевведены Гильбертом в «Основанияхгеометрии». Гильберт обозначает точкипрописными латинскими буквами (А, В, С,…), прямые – строчнымилатинскими буквами (a,b,c,…), плоскости –малыми или греческими буквами (,,,,…).

Различные случаи комбинациимежду собой прямых, точеки плоскостей, их условныеизображения и их обозначения показанына рисунках.

ТочкиА и В, плоскость ,причем точка А лежит в плоскости аточка В не

лежитв плоскости .

Прямые c,k,mрасположены по отношению к плоскостиследующимобразом:

-прямая cне лежит в плоскости 

-прямая kлежит в плоскости ;

-прямая mпересекает плоскость в точке А.

Плоскостиипересекаются по прямой а.

Вывод. Различные случаи взаимногорасположения прямых, прямых и плоскостей,плоскостей в пространстве изучаетстереометрия.

5. Наряду с этими фигурамирассматриваются геометрическиетела и их поверхности. Примеры простейших геометрическихтел: куб, шар, цилиндр, призма, конус,пирамида.

Изучая свойства геометрическихфигур – воображаемых объектов, мыполучаем представление о геометрическихсвойствах реальных предметов и можемиспользовать их практической деятельности,в частности: в строительстве, архитектуре,машиностроении и других.

6. Аксиомы стереометрии.

АКСИОМА –это высказывание, истинность которогопринимается без доказательства (аксиома- греческое слово, означающее«бесспорное положение»).

А1: Через любыетри точки, не лежащие на одной прямойпроходит плоскость, и притом толькоодна.

Плоскость проходит через точки А, В, и С. Можно сказать, что эти триточки задают плоскость АВС.

ВОПРОСЫ:

-всегда ли три точки лежат водной плоскости? (ДА)

-всегда ли четыре точки лежат водной плоскости? (Нет)

-всегда ли через три точкипроходит плоскость, и притом толькоодна? (нет)

-сколько плоскостей можнопровести через две точки? (множество)

А2: Если дветочки прямой лежат в плоскости, то всеточки этой прямой лежатв плоскости.

Точки А и В лежат в плоскости ,значит и точка С лежит в плоскости потому, что она лежит на прямой АВ.

ВОПРОСЫ: верно ли утверждение:

-если две точки окружности лежатв плоскости, то и вся окружность лежитв этой плоскости? (Нет)

-если три точки окружности лежатв плоскости, то и вся окружность лежитв этой плоскости? (Да)

-если прямая пересекает двестороны треугольника, то она лежит вплоскости данного треугольника? (Да)

-если прямая проходит через однуиз вершин треугольника, то она лежит вплоскости данного треугольника? (Нет)

-если две смежные вершины и точкапересечения диагоналей параллелограммалежат в плоскости, то и две другие вершины тоже лежат в этой плоскости?(Да)

-если две противоположные вершиныи точка пересечения диагоналейпараллелограмма лежат в плоскости, тои две другие вершины тоже лежат в этойплоскости? (Нет)

А3: Если две плоскости имеют общую точку,то они имеют общую прямую, на которойлежат все общие точки этих плоскостей.Говорят, что плоскостипересекаются по прямой, проходящейчерез эту точку.

ВОПРОСЫ:

могут ли две плоскости иметь:

-только одну общую точку? (Нет)

-только две общие точки? (Нет)

-только одну общую прямую? (Да)

-могут ли две пересекающиесяплоскости иметь общую точку, непринадлежащую линии пересечения этихплоскостей?

Рассмотрим модель куба АВСDA1B1C1D1.

ВОПРОСЫ:

а) назовите точки, которые лежатв плоскости DCC1, ABC,ADD1;

б) назовите плоскости, которымпринадлежат точки М, К, P1,R,S,N;

в) назовите плоскости , в которыхрасположены прямые KP,C1D1,RP,MK;

г) назовите прямые, по которымпересекаются плоскости ABCи DD1C1, BB1C1и AA1B1, AA1D1и A1B1C1;

д) назовите прямые, по которымпересекаются плоскости ABCи KPN, RPK

DСС1, BDС1и RSP;

е) назовите точки пересеченияпрямых DSи CC1, ADи PC, MRи AD, KPи AD,DC1и RP1;

ж) назовите общие точки плоскостейCDD1и BCC1,ABCи AA1D1,BDCи ABB1.

Запишитеответы в тетрадь с помощью символики.Проверьте.Проверьте выполнение упражнения.

а)DCC, PDCC1, SDCC1,

КABC, K1ABC, PABC, P1 ABC,

MADD1, R ADD1, K1 ADD1, P1ADD1;

б)M ABB1, M ADD1, K ABC, K ABB1, P1ABC, P1DCC1, R ADD1, R DCC1, S DCC1, N A1B1C1, N BCC1;

в)KP ABC, C1D1 CDD1, C1D1 A1B1C1, RP CDD1, MK AA1B1;

г)ABC ∩ DD1C1=DC, BB1C1∩ AA1B1=BB1, AA1D1∩ A1B1C1=A1D1;

д)ABC ∩ KPN = KP, RPK ∩ DCC1= RP, BDC1∩ RSP = DC1;

е) DS ∩ CC1=C1, AD ∩ PC=D, MR ∩ AD=P1, KP ∩ AD=K1, DC1∩ RP1=;

ж)C,C1(CDD1∩BCC1), A1,D1,K1,P1(ABC∩AA1D1), A,K,B(BDC∩ABB1).

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: устно п. 1-2,письменно № 1 (перечертить чертеж иответ записать с помощью символики), №11.

Список литературы:

  1. Геометрия 10-11. Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев и др. М. «Просвещение» 1992

  2. Геометрия 7-11. А. В. Погорелов. М. «Просвещение» 1982

  3. Стереометрия. Устные задачи 10-11. Б. Г. Зив. СПб «ЧеРО-на-Неве» 2002

  4. История математики в школе. IX-X классы. Г. И. Глейзер. М. «Просвещение» 1983.

  5. Детская энциклопедия. Том 3. Академия педагогических наук. М. 1959.

  6. Энциклопедия для детей. Том 11.Математика. «Аванта+» М. 1998.

Источник: https://gigabaza.ru/doc/72433.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.