События определение

Понятие вероятности события

События определение

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.

Событие

Определение 1

Событием будем называть любое утверждение, которое может как произойти, так и не произойти.

Обычно события обозначаются большими английскими буквами.

Пример: $A$ – выпадение числа $6$ на кости.

В связи с тем, что событие может иметь две вариации исхода («произошло» и «не произошло») мы сталкиваемся с понятие вероятности такого события.

Определение 2

Вероятностью события будем называть число, которое обозначает степень возможности, что такое событие произойдет.

Вероятность события обозначается как $P(A)$

Чтобы определить границы значения этого числа введем понятие достоверного и невозможного событий.

Определение 3

Достоверным событием будем называть такое, которое произойдет при любых обстоятельствах.

Примером такого события может быть следующее: Сумма «точек» на классической кости всегда равняется $21$.

Вероятность такого события мы будем принимать за единицу.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Определение 4

Невозможным событием будем называть такое, которое не может произойти ни при каком обстоятельстве.

Примером такого события может быть следующее: При игре в «очко» игрок набрал $1$ очко.

Вероятность такого события мы будем принимать за $0$.

То есть значение вероятности любого события содержится в отрезке $[0,1]$.

В современной теории вероятности принято выделять четыре определения для вероятности: классической, геометрическое, статистическое и аксиоматическое определения. Рассмотрим их отдельно.

Классическое определение

Классическое определение связано с такими неопределяемыми понятиями как равновозможность и элементарность события. Интуитивно их можно понять на следующих примерах:

Равновозможность: При подбрасывании монеты она может упасть как аверсом, так и реверсом независимо от внешних условий. То есть можно сказать что вероятность выпадения одной или другой стороны по сути одинакова.

Элементарность события: Если на кости выпадет число $4$, то это означает, что числа $1, 2, 3, 5$ и $6$ уже не выпали.

Определение 5

Вероятностью события будем называть отношения числа n равновозможных элементарных событий исходного события $B$ ко всем элементарным событиям $N$.

Математически это выглядит следующим образом:

$P(B)=\frac{n}{N}$

Геометрическое определение

Геометрическое определение применяется для случая, когда количество равновозможных событий будет бесконечно. Здесь, для введения геометрического определения рассмотрим следующий пример. Для игры дартс берем круг площадью $S$ и разбиваем его на несколько кругов.

Какова вероятность, что дротик попадет в центральный круг? (Исключим здесь случаи полного непопадания в поле). Очевидно что равновозможных событий здесь будет бесконечно (как и общих событий) так как круг содержит в себе бесконечное число точек. Пусть площадь центрального круга равняется $s$.

Тогда мы сталкиваемся с геометрическим определением вероятности такого события:

$P(B)=\frac{s}{S}$

Статистическое (частотное) определение

Классическое определение довольно часто не учитывает всех возможностей.

Рассматривая даже классический пример с бросанием кости мы пренебрегаем возможностью, что не выпадет никакого из шести чисел (кубик просто «остановится» на уголке).

Поэтому вводят следующее определение вероятности, учитывающее все возможности. Рассматриваем $N$ наблюдений. Пусть нужное нам событие при этом выпало $n$ раз. Тогда

$P(B)=lim_{N→∞}\frac{n}{N}$

Аксиоматическое определение

Данное определение задается с помощью аксиоматики Колмогорова.

Пусть $X$ – пространство всех элементарных событий. Тогда

Определение 6

Вероятностью события $B$ будем называть такую функцию $P(B)$, которая удовлетворяет следующим условиям:

  1. Данная функция всегда неотрицательна,
  2. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из попарно несовместных событий равняется сумме их вероятностей.
  3. Функция всегда меньше или равна $1$, причем $P(X)=1$.

Примеры задач

Пример 1

Найти вероятность того, что наугад вытащенная из колоды карт будет бубновой масти (сумма карт в колоде кратна $4$-м).

Решение.

Так как количество карт кратно четверке, то пусть всего карт будет $4k$. Тогда каждой масти карт будет $k$ штук (так как мастей $4$ и их количество одинаково).

При решении этой задачи будем использовать определение $5$. Во введенных нами обозначениях, получим что в определении $5$ мы будем иметь

$N=4k,n=k$

Следовательно

$P=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

Пример 2

Пусть нам дана точка $(a,b)$, где $-5

Решение.

Тут мы будем использовать геометрическое определение. Изобразим вначале область, в которую в принципе может попасть эта точка (рис. 1).

Из этого рисунка видим, что

$S=8\cdot 5=40,s=3\cdot 3=9$

Тогда из геометрического определения:

$P=\frac{9}{40}$Ответ: $\frac{9}{40}$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/elementy_kombinatoriki_i_teorii_veroyatnostey/ponyatie_veroyatnosti_sobytiya/

Зависимые и независимые случайные события. Основные формулы сложения и умножения вероятностей

События определение

Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Найдем вероятность суммы событий и (в предположении их совместности либо несовместности).

Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Пример 1. Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го — 0,04; 46-го и большего — 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера.

Решение. Искомое событие произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие ) или 45-го (событие ), или не меньше 46-го (событие ), т. е. событие есть сумма событий . События , и несовместны. Поэтому согласно теореме о сумме вероятностей получаем

Пример 2. При условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.

Решение. События “очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера” и “будет продана пара обуви размера не меньше 44-го” противоположные. Поэтому по формуле (1.2) вероятность наступления искомого события

поскольку , как это было найдено в примере 1.

Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что наглядно видно на следующем примере.

Пусть выполнение заказа в срок фирмой “Electra Ltd” оценивается вероятностью 0,7.

Какова вероятность того, что из трех заказов фирма выполнит в срок хотя бы какой-нибудь один? События, состоящие в том, что фирма выполнит в срок первый, второй, третий заказы обозначим соответственно . Если для отыскания искомой вероятности применить теорему 2.

1 сложения вероятностей, то получим . Вероятность события оказалась больше единицы, что невозможно. Это объясняется тем, что события являются совместными. Действительно, выполнение в срок первого заказа не исключает выполнения в срок двух других.

Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).

Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:

Зависимые и независимые события. Условная вероятность

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления “герба” в первом испытании (событие ) не зависит от появления или не появления “герба” во втором испытании (событие ). В свою очередь, вероятность появления “герба” во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события и независимые.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом.

Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая.

Вероятность одного события , вычисленная в предположении осуществления другого события , называется условной вероятностью события и обозначается .

Условие независимости события от события записывают в виде , а условие его зависимости — в виде . Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

Пример 4. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим извлечение изношенного резца в первом случае, а — извлечение нового. Тогда . Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

Следовательно, вероятность события зависит от того, произошло или нет событие .

Формулы умножения вероятностей

Пусть события и независимые, причем вероятности этих событий известны. Найдем вероятность совмещения событий и .

Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 5. Три ящика содержат по 10 деталей. В первом ящике — 8 стандартных деталей, во втором — 7, в третьем — 9. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика взята стандартная деталь (событие ), . Вероятность того, что из второго ящика взята стандартная деталь (событие ), . Вероятность того, что из третьего ящика взята стандартная деталь (событие ), . Так как события , и независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения)

Пусть события и зависимые, причем вероятности и известны. Найдем вероятность произведения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие , и событие .

Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Пример 6. В урне находятся 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ), при втором — черный (событие ) и при третьем — синий (событие ).

Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании . Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т.

е. условная вероятность . Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором — черный, .

Искомая вероятность

Формула полной вероятности

Теорема 2.5. Если событие наступает только при условии появления одного из событий , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события :

(2.1)

При этом события называются гипотезами, а вероятности — априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют 50% всех деталей, на втором — 30%, на третьем — 20%.

Вероятность качественной сборки при использовании детали, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98, 0,95 и 0,8, Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный.

Решение. Обозначим событие, означающее годность собранного узла; , и — события, означающие, что детали сделаны соответственно на первом, втором и третьем станке. Тогда

Искомая вероятность

Формула Байеса

Эта формула применяется при решении практических задач, когда событие , появляющееся совместно с каким-либо из событий , образующих полную группу событий, произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез . Априорные (до опыта) вероятности известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. е., по существу, нужно найти условные вероятности . Для гипотезы формула Байеса выглядит так:

Раскрывая в этом равенстве по формуле полной вероятности (2.1), получаем

Пример 8. При условиях примера 7 рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная соответственно на первом, втором и третьем станке, если узел, сходящий с конвейера, качественный.

Решение. Рассчитаем условные вероятности по формуле Байеса:

для первого станка
для второго станкадля третьего станка

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=zavisimye-i-nezavisimye-sluchainye-sobytiya

Значение слова СОБЫТИЕ. Что такое СОБЫТИЕ?

События определение

  • СОБЫ́ТИЕ, -я, ср. То, что произошло, случилось, значительное явление, факт общественной или личной жизни. Международные события. События 9-го Января.Много пронеслось годов, много совершилось событий: был голод, повальные болезни, была пугачевщина. С. Аксаков, Семейная хроника. В эти три года в нашей семейной жизни случились два важные события —. Это были рождение моего первого ребенка и смерть Татьяны Семеновны. Л. Толстой, Семейное счастие. || О том, что представляет собой выдающееся происшествие, явление, выходящее за рамки обычного течения жизни. Каждое первое представление с участием Ермоловой являлось в Москве событием, на этих премьерах бывала вся передовая Москва — профессура, литераторы, общественные деятели. Щепкина-Куперник, Театр в моей жизни. Вступление экспедиции в село Успенку для деревенской жизни было целым событием. Арсеньев, По Уссурийской тайге.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

  • Собы́тие — то, что имеет место, происходит, наступает в произвольной точке пространства-времени; значительное происшествие, явление или иная деятельность как факт общественной или личной жизни; подмножество исходов эксперимента.Ю. М. Лотман пишет, что событием является то, что «произошло, хотя могло и не произойти».

Источник: Википедия

  • СОБЫ'ТИЕ, я, ср. То, что случилось, происшествие, случай. Неожиданное с. || Важное явление, крупный факт, происшедший в общественной или личной жизни. Накануне событий. Международные события. Мелькают предо мной события веков. Баратынский. Это — целое с.

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

Источник: Викисловарь

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: автограф — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Ассоциации к слову «событие»

  • праздник
  • свадьба
  • дата
  • рождение
  • день
  • (ещё…)

Предложения со словом «событие»:

  • Впрочем, назвать подобное развитие событий совершенно невозможным тоже нельзя.
  • Вовремя изменив «проект», мы меняем в нужную сторону и ход событий нашей жизни.
  • Все дальнейшие события были определены этой просьбой.
  • (все предложения)

Понятия со словом «событие»

  • Собы́тие — то, что имеет место, происходит, наступает в произвольной точке пространства-времени; значительное происшествие, явление или иная деятельность как факт общественной или личной жизни; подмножество исходов эксперимента.
  • Собы́тие (мирова́я то́чка) в теории относительности — моментальное локальное явление, происходящее в уникальном времени и месте, то есть точка в пространстве-времени. События являются элементами плоского пространства Минковского СТО и искривленного псевдориманова пространства-времени ОТО.
  • Собы́тие — понятие философии двадцатого века, введение которого ознаменовалось кардинальными реконструкциями в области традиционной метафизической мысли. Термин ставит своей задачей разъяснение ряда важнейших вопросов — значение времени и пространства, вопросы смысла, сущностная основа бытия.
  • Горизо́нт собы́тий — воображаемая граница в пространстве-времени, разделяющая те события (точки пространства-времени), которые можно соединить с событиями на светоподобной (изотропной) бесконечности светоподобными геодезическими линиями (траекториями световых лучей), и те события, которые так соединить нельзя. Так как обычно светоподобных бесконечностей у данного пространства-времени две: относящаяся к прошлому и будущему, то и горизонтов событий может быть два: горизонт событий прошлого и горизонт…
  • Просмотр событий (англ. Event Viewer) — компонент, включённый в состав операционных систем семейства Windows NT, разрабатываемых Microsoft, который позволяет администраторам просматривать лог событий на локальном компьютере или на удалённой машине. В Windows Vista Microsoft переработала систему событий.Из-за регулярного предоставления отчётов о незначительных ошибках запуска и обработки событий (которые на самом деле не наносят вреда или урона компьютеру) программное обеспечение часто используется…
  • (все понятия)

Дополнительно:

Источник: https://kartaslov.ru/%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0/%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5

Статистическое определение вероятности случайного события

События определение

Рассмотрим статистическое определение вероятности, чтобы понимать статистический подход к численному определению вероятности. Данный подход очень важен тогда, когда из теоретических соображений подобный к соображению симметрии, значение вероятности событий наперёд невозможно установить.

К примеру, если у партии из 100 случайно отобранных для контроля товара, обнаружено 2 нестандартных, тогда утверждение, что соотношение (его называют относительной частотой), можно считать вероятностью появления нестандартного товара, не может быть убедительным.

Этот пример в схему случаев не вписывается. Теоретически вероятность такого события установить невозможно. Однако, выход есть, если много раз повторить выборки.

(при одинаковых условиях) и проследить за значением относительных частот событий, то есть, воспользоваться статистическими методами.

Относительной частотой случайного события называется отношение , числа испытаний, в которых это событие появилось, к общему числу , проведённых испытаний, и обозначается:

Между относительной частотой и вероятностью событий есть определённая связь: если каким-то образом установлено, что вероятность случайного события равняется числу , тогда при больших версиях испытаний и неизменных условиях частота события приблизительно равняется вероятности, то есть:

.

Для подтверждения этого равенства подбросим раз монеты. В данном случае “герб” появлялся раз, – относительная частота выпадания “герба”.

Статистические закономерности

 В литературе по теории вероятностей эксперименты проводились несколькими учёными, о которых остались записи. Давайте их вспомним:

Автор эксперимента
Бюффон (1707-1788) – французский естествоиспытатель, натуралист, биолог, математик40400,507
Де Морган (1806-1871) – шотландский математик, логик40900,5005
Джевонс (1835-1882) – английский экономист и философ20 4800,5068
Романовский В. И. (1879-1954) – советский математик80 6400,4933
Пирсон К. (1857-1936) – английский математик-статистик, биолог, философ.24 0000,5005
Феллер У. (1906-1970) – американский математик.10 0000,4979

Вышеперечисленные результаты испытаний (экспериментов) полностью согласовываются с теоретическим значением вероятности, которая равняется 0,5 и получена предположительно равной возможности “герба” и “числа”, то есть симметричной монеты. При помощи специальных вероятных методов за данными испытаниями можно установить, что выпадания “герба” или “числа” в отдельных случаях не одинаково вероятно, то есть монета не симметрична.

Ряд статистических закономерностей были обнаружены в конце XIX и в начале XX столетия в физике, химии, биологии, экономике и других науках.

Было установлено, что если опыты проводятся при неизменных условиях, в каждом из которых число испытаний достаточно большое, тогда число испытаний, при которых данное событие появилось, то есть частота событий , как правило, мало отличается от вероятности появления событий . И чем большее количество испытаний, тем реже встречаются частоты , которые значительно отклоняются от вероятности .

Как видите, при многоразовых испытаниях, относительная частота, которая еле меняется, колеблется вокруг некоторого числа, которое есть вероятностью событий. Согласно статистическому определению за вероятность событий принимается относительная частота или число, близкое к ней.

Примеры по теме “Статистическое определение вероятности”

Пример 1

Задача

Статистическая вероятность попадания в цель при 84 выстрелах равна 0,9. Сколько всего было попаданий?

Решение

Так как у нас есть формула , где – число попаданий, – число выстрелов, тогда . Подставляя исходные данные, у нас получается:

Ответ

Итого попаданий – 75,6.

Пример 2

Задача

Швейная фабрика заказала 3500 пуговиц, чтобы пошить школьную форму. Когда проверяли партию на 700 пуговиц, оказалось, что из них 15 пуговиц бракованных. Какое наименьшее количество запасных пуговиц необходимо еще заказать, чтобы исключить брак?

Решение

Статистическая частота брака составляет , тогда среди 3500 пуговиц, бракованных . Значит, необходимо заказать наименьшее количество запасных пуговиц 75 шт.

Ответ

Чтобы исключить брак, нужно заказать минимум 75 шт. запасных пуговиц.

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/statisticheskoe-opredelenie-verojatnosti-sluchajnogo-sobytija/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.