Сколько значений может принимать дискретная случайная величина

Дискретная случайная величина и функция её распределения

Сколько значений может принимать дискретная случайная величина

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и в свою очередь, случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно.

Кроме дискретных случайных величин существуют также непрерывные случайные величины.

Рассмотрим более подробно понятие случайной величины. На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассматриваемом опыте, явлении, наблюдении.

Например, число мальчиков, которые родятся в Москве в ближайший день, может быть различным. Оно может быть равным нулю (не родится ни одного мальчика: родятся все девочки или вообще не будет новорождённых), одному, двум и так далее до некоторого конечного числа n.

К подобным величинам относятся: масса корнеплода сахарной свеклы на участке, дальность полёта артиллерийского снаряда, количество бракованных деталей в партии и так далее. Такие величины будем называть случайными.

Они характеризуют все возможные результаты опыта или наблюдения с количественной стороны.

Примерами дискретных случайных величин с конечным числом значений могут служить число родившихся детей в течение дня в населённом пункте, число пассажиров автобуса, число пассажиров, перевезённых московским метро за сутки и т. п.

Число значений дискретной случайной величины может быть и бесконечным, но счётным множеством. Но в любом случае их можно в каком-то порядке пронумеровать, или, более точно – установить взаимно-однозначное соответствие между значениями случайной величины и натуральными числами 1, 2, 3, …, n.

Внимание: новое, очень важное понятие теории вероятностей – закон распределения. Пусть дискретная случайная величина X может принимать n значений: .

Будем считать, что они все различны (в противном случае одинаковые должны быть объединены) и расположены в возрастающем порядке.

Для полной характеристики дискретной случайной величины должны быть заданы не только все её значения, но и верояности , с которыми случайная величина принимает каждое из значений, т. е. .

Законом распределения дискретной случайной величины называется любое правило (функция, таблица) p(x), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она пример какое-то значение или попадёт в какой-то интервал).

Наиболее просто и удобно закон распределения дискретной случайной величины задавать в виде следующей таблицы:

Значение
Вероятность

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. В верхней строке ряда распределения перечислены в порядке возрастания все возможные значения дискретной случайной величины (иксы), а в нижней – вероятности этих значений (p).

События являются несовместимыми и единственно возможными: они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице:

.

Пример 1. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрывается две вещи стоимостью по 1000 руб. и одна стоимостью по 3000 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрёл один билет за 100 руб. Всего продано 50 билетов.

Решение. Интересующая нас случайная величина X может принимать три значения: – 100 руб. (если студент не выиграет, а фактически проиграет 100 руб., уплаченные им за билет), 900 руб. и 2900 руб.

(фактический выигрыш уменьшается на 100 руб. – на стоимость билета). Первому результату благоприятствуют 47 случаев из 50, второму – 2, а третьему – один.

Поэтому их вероятности таковы: P(X=-100)=47/50=0,94, P(X=900)=2/50=0,04, P(X=2900)=1/50=0,02.

Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

Сумма выигрыша-1009002900
Вероятность0,940,040,02

Функция распределения дискретной случайной величины: построение

Ряд распределения может быть построен только для дискретной случайной величины (для недискретной он не может быть построен хотя бы потому, что множество возможных значений такой случайной величины несчётно, их нельзя перечислить в верхней строке таблицы).

Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных), является функция распределения.

Функцией распределения дискретной случайной величины или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.

Пример 2. Дискретная случайная величина X – число очков, выпавших при бросании игральной кости. Постоить её функцию распределения.

Решение. Ряд распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

Значение123456
Вероятность1/61/61/61/61/61/6

Функция распределения F(x) имеет 6 скачков, равных по величине 1/6 (на рисунке внизу).

Пример 3. В урне 6 белых шаров и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров – дискретная случайная величина X. Составить соответствующий ей закон распределения.

Решение. Дискретная случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности проще всего вычислисть по правилу умножения вероятностей. Получаем следующий закон распределения дискретной случайной величины:

Значение0123
Вероятность1/303/101/21/6

Пример 4. Составить закон распределения дискретной случайной величины – числа попаданий в цель при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.

Решение. Дискретная случайная величина X может принимать пять различных значений: 1, 2, 3, 4, 5. Соответствующие им вероятности найдём по формуле Бернулли . При

n = 4,

p = 1,1,

q = 1 – p = 0,9,

m = 0, 1, 2, 3, 4

получаем

Следовательно, закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид

Число попаданий01234
Вероятность0,65610,29160,04860,00360,0001

Если вероятности значений дискретной случайной величины можно определить по формуле Бернулли, то случайная величина имеет биномиальное распределение.

Если число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в этих испытаниях интересующее событие наступит именно m раз, подчиняется закону распределения Пуассона.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

Функция распределения дискретной случайной величины: вычисление

Чтобы вычислить функцию распределения дискретной случайной величины F(х), требуется сложить вероятности всех тех значений, которые меньше или равны граничному значению х.

Пример 5. В таблице данные о зависимости числа расторгнутых в течение года браков от длительности брака. Найти вероятность того, что очередной расторгнутый брак имел длительность менее или равную 5 годам.

Длительность брака (лет)ЧислоВероятностьF(x)
0100,0020,002
1800,0130,015
21770,0290,044
32090,0350,079
43070,0510,130
53350,0560,186
63580,0600,246
74130,0690,314
84320,0720,386
94020,0670,453
10 и более32870,5471,000
Всего60101

Решение. Вероятности вычислены путём деления числа соответствующих расторгнутых браков на общее число 6010. Вероятность того, что очередной расторгнутый брак был длительностью в 5 лет, равна 0,056.

Вероятность, что длительность очередного расторгнутого брака меньше или равна 5 годам, равна 0,186.

Мы получили её, прибавив к значению F(x) для браков с длительностью по 4 года включительно вероятность для браков с длительностью в 5 лет.

Связь закона распределения дискретной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией

Часто не все значения дискретной случайной величины известны, но известны некоторые значения или вероятности из ряда, а также математическое ожидание и (или) дисперсия случайной величины, которым посвящён отдельный урок.

Приведём здесь некоторые формулы из этого урока, которые могут выручить при составлении закона распределения дискретной случайной величины и разберём примеры решения таких задач.

Математическое ожидание дискретной случайной величины – сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:

(1)

Формула дсперсии дискретной случайной величины по определению:

Часто для вычислений более удобна следующая формула дисперсии:

, (2)

где .

Пример 6. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения. Меньшее значение она принимает с вероятностью p = 0,6. Найти закон распределения дискретной случайной величины X, если известно, что её математическое ожидание и дисперсия .

Решение. Вероятность того, что случайная величина примет бОльшее значение x2, равна 1 − 0,6 = 4. Используя формулу (1) математического ожидания, составим уравнение, в котором неизвестные – значения нашей дискретной случайной величины:

или

.

Используя формулу (2) дисперсии, составим другое уравнение, в котором неизвестные – также значения дискретной случайной величины:

или

.

Систему из двух полученных уравнений

решаем методом подстановки. Из первого уравнения получаем

.

Подставив это выражение во второе уравнение, после несложных преобразований получим квадратное уравнение

,

которое имеет два корня: 7/5 и −1. Первый корень не отвечает условиям задачи, так как x2 

Источник: https://function-x.ru/probabilities_discrete_random_value.html

3.2. Случайная величина

Сколько значений может принимать дискретная случайная величина

Глава 3. Принятие решений в условиях риска

3.2.1. Понятие случайной величины

В ситуации риска нам известны исходы той или иной альтернативы и вероятности, с которыми данные исходы могут наступить.

То есть нам известно вероятностное распределение исходов, поэтому они могут быть представлены (смоделированы) в виде случайной величины.

В этом параграфе мы напомним сведения из теории вероятностей о случайных величинах и способах их определения, которые будут необходимы для дальнейшего изучения материала книги.

Согласно классическому определению, случайной называется величина, значение которой может меняться от опыта к опыту случайным образом. То есть в каждом “испытании” она может принимать одно единственное значение из некоторого множества. При этом нельзя предсказать, какое именно значение она примет.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дискретная СВ может принимать только конечное или счетное множество значений. Непрерывная СВ может принимать любое значение из некоторого замкнутого или открытого интервала, в том числе и бесконечного.

3.2.2. Закон распределения случайной величины

Случайная величина определяется своим законом распределения. Закон распределения считается заданным, если указаны:

  • множество возможных значений случайной величины (в т.ч. бесконечное) и
  • вероятность попадания случайной величины в произвольную область этого множества, либо закон (формула), позволяющая рассчитать такую вероятность.

По сути, вероятность представляет собой показатель, характеризующий возможность появления случайной величины в данной области.

Наиболее общим и распространенным способом определения вероятностей различных значений случайной величины является задание функции распределения вероятностей, которую сокращенно называют функцией распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), задающая вероятность того, что СВ примет значение меньше конкретного значения х, то есть:

F(x) = P(X < x)

где

Х (“икс большое”) – обозначает случайную величину,

х (“икс маленькое”) – конкретное значение из множества возможных значений случайной величины.

Функция распределения неубывающая. При х, стремящемся к минус бесконечности, она стремится к нулю, а при х, стремящемся к плюс бесконечности – к единице.

Форма представления закона распределения случайной величины может быть различна и зависит от того, какая это СВ – дискретная или непрерывная.

Из определения функции распределения следуют следующие зависимости:

вероятность того, что случайная величина примет значения в интервале от а до b:

Р(a ≤ Х < b) = F(b) - F(a)

вероятность того, что случайная величина примет значения не меньше, чем а:

Р(Х ≥ a) = 1 – F(a)

3.2.3. Способы представления распределения дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина может быть полностью задана своей функцией распределения или рядом (таблицей) распределения. Они могут быть представлены в табличной, аналитической или графической формах.

Допустим, случайная величина Х может принять три возможных значения 25, 45 и 50 с вероятностями 25%, 35% и 40% соответственно. Ряд распределения этой СВ будет выглядеть следующим образом:

xj

pj

254550
0.250.350.40

Функция распределения этой же случайной величины, которая показывает вероятность непревышения конкретного значения, может быть записана так:

На рис.3.1 представлены графические способы задания закона распределения этой дискретной случайной величины Х.

Рис.3.1. Графики ряда распределения и функции распределения дискретной случайной величины.

На графике ряда распределения вероятности pj реализации каждого возможного значения хj представлены столбиками, высота которых равна вероятности. Сумма высот всех М столбиков (т.е. всех вероятностей) равна единице, поскольку они охватывают все возможные значения х:

Иногда вместо столбиков изображают ломанную, соединяющую вероятности реализации значений СВ.

Вероятность того, что дискретная случайная величина примет значение меньше, чем а, равна сумме вероятностей всех исходов, меньших а:

По определению, это равно значению функции распределения в точке х = а.

Если мы нанесем на координатную плоскость значения функции распределения, когда х “пробегает” все значения от минус бесконечности до плюс бесконечности, мы получим график функции распределения. Для дискретной СВ он ступенчатый.

На интервале от минус бесконечности до первого возможного значения х1 она равна нулю, поскольку принять какое-либо значение на этом интервале невозможно.

Далее каждое возможное значение хj увеличивает функцию распределения на величину, равную вероятности наступления этого значения pj. Между двумя последовательными значениями хj и xj+1 функция распределения не изменяется, поскольку других возможных значений х там нет, и скачков не происходит.

В конечном итоге, в точке последнего возможного значения хМ происходит скачок на величину вероятности рМ, и функция распределения достигает предельного значения, равного единице. Далее график идет на этом уровне параллельно оси х.

Выше он никогда не поднимается, так как вероятность не может быть больше единицы.

3.2.4. Способы представления распределения непрерывной случайной величины

Непрерывная случайная величина также задается своей функцией распределения, представленной, как правило, в аналитическом виде. Кроме того, она может быть полностью описана функцией плотности вероятности f(x), которая представляет собой первую производную от функции распределения F(x):

f(x) = F'(x)

Функция плотности вероятности неотрицательна, а ее интеграл в бесконечных пределах равен единице.

Возьмем в качестве примера непрерывную случайную величину, распределенную по нормальному закону.

Ее функция плотности вероятности задается аналитически формулой вида:

Здесь mX и σX параметры распределения. mX характеризует местоположение центра распределения, а σX – рассеивание относительно этого “центра”.

Аналитическая запись ее функции распределения выглядит следующим образом:

Графики функции распределения и функции плотности вероятности представлены на рис.3.2.

Рис.3.2 Графики функции плотности вероятности f(x) и функции распределения F(x) непрерывной случайной величины (на примере нормально распределенной случайной величины с параметрами mX = 5, σX = 1).

График функции распределения любой случайной величины всегда неубывающий, стремящийся к единице. Плотность вероятности характеризует “скорость” роста функции распределения. На интервалах, где плотность высокая, функция распределения растет быстрее.

Там, где плотность равна к нулю, функция распределения не изменяется, и ее график идет параллельно оси х.

В нашем примере наибольшие значения плотность имеет в окрестности точки х = mX (для нормально распределенных СВ ее еще иногда называют центром рассеивания).

Значение функции распределения F(x) в произвольной точке а равно вероятности того, что случайная величина X примет значение меньше а. Эта вероятность соответствует заштрихованной площади под графиком функции плотности вероятности f(x) на интервале от -∞ до а.

Изложенные в настоящем параграфе сведения о случайных величинах из теории вероятностей понадобятся нам далее для анализа методов принятия решений в условиях риска.

Дата обновления: 25.09.2014

Источник: http://risking.ru/materials/risktheory/part3_2.html

Дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей

Сколько значений может принимать дискретная случайная величина

Определение 1

Случайная величина $Х$ называется дискретной (прерывной), если множество ее значений бесконечное или конечное, но счетное.

Другими словами, величина называется дискретной, если ее значения можно занумеровать.

Описать случайную величину можно с используя закона распределения.

Определение 2

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений:

Рисунок 1.

где $р1+ р2+ … + рn = 1$.

Даная таблица является рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд $р1+ р2+ … + рn+ …$ сходится и его сумма будет равна $1$.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ можно представить графически, для чего в системе координат (прямоугольной) строят ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами $(xi;pi), i=1,2, … n$. Линию, которую получили называют многоугольником распределения.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Рисунок 2.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть также представлен аналитически (с помощью формулы):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 … n$.

Действия над дискретными вероятностями

При решении многих задач теории вероятности необходимо проводить операции умножения дискретной случайной величины на константу, сложения двух случайных величин, их умножения, поднесения к степени. В этих случаях необходимо придерживаться таких правил над случайными дискретными величинами:

Определение 3

Умножением дискретной случайной величины $X$ на константу $K$ называется дискретная случайная величина $Y=KX,$ которая обусловлена равенствами: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)=p_i,\ \ i=\overline{1,\ n}.$

Определение 4

Две случайные величины $x$ и $y$ называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приобрела вторая величина.

Определение 5

Суммой двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=X+Y,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_i+y_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip'_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p'_j$.

Определение 6

Умножением двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=XY,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_iy_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip'_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p'_j$.

Примем во внимание, что некоторые произведения $x_{i\ \ \ \ \ }y_j$ могут быть равными между собой. В таком случае вероятность сложения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.

Например, если $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $то вероятность $x_2y_3$ (или тоже самое $x_5y_7$) будет равна $p_2\cdot p'_3+p_5\cdot p'_7.$

Сказанное выше касается также и суммы. Если $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то вероятность $x_1+\ y_2$ (или тоже самое $x_4+\ y_6$) будет равняться $p_1\cdot p'_2+p_4\cdot p'_6.$

Пусnm случайные величины $X$ и $Y$ заданы законами распределения:

Рисунок 3.

Где $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p'_1+p'_2=1.$ Тогда закон распределения сумы $X+Y$ будет иметь вид

Рисунок 4.

А закон распределения произведения $XY$ будет иметь вид

Рисунок 5.

Фунция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Геометрически функция распределения разъясняется как вероятность того, что случайная величина $Х$ принимает значение, которое на числовой прямой изображается точкой, лежащей с левой стороны от точки $х$.

Свойства функции распределения

  1. $0\le F\left(x\right)\le 1;$

  2. $F\left(x\right)$$-$ функция неубывающая на промежутке ($- \infty $; $+ \infty $);

  3. $F\left(x\right)$$-$ функция непрерывна слева в точках $х= xi (i=1,2,\dots n)$ и непрерывна во всех остальных точках;

  4. $F\left(-\infty \right)=P \left(X

Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан таблицей:

Рисунок 6.

то функция распределения $F(x)$ определяется за формулой:

Рисунок 7.

Её график выглядит так:

Рисунок 8.

Пример 1

Закон распределения дискретной случайной величины $\xi$ задано таблицей:

Рисунок 9.

Построить функцию распределения $F\left(x\right)$.

Если $x\le -3,$ то $F\left(x\right)=0;$

если $-3

если $-1

если $1

если $3

если $x>5,$ то $F\left(x\right)=0,8+0,2=1.$

Компактно $F\left(x\right)$ можно записать в такой форме:

Рисунок 10.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/sluchaynye_velichiny/diskretnaya_sluchaynaya_velichina_zakon_raspredeleniya_veroyatnostey/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.