Определение системы счисления

Система счисления

Определение системы счисления

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами.

Системы счисления

Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.

Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня.

Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1–го класса счету.

Рассмотрим различные системы счисления.

Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы.

Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы).

Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча).

Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (два десятка, пяток, три единицы).

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IX – обозначает 9, XI – обозначает 11.

Десятичное число 99 имеет следующее представление:

XCIХ = –10+100–1+10.

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие.

В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, …, 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, …

, 90 применялись следующие 9 букв а для обозначения чисел 100, 200, …, 900 – последние 9 букв.

У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу.

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

  • Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
  • Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
  • Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления – количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в коде(записи) числа. Ныне мы привыкли пользоваться десятичной позиционной системой — числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни и т.д.

Например: 1) шестидесятеричная (Древний Вавилон)– первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1мин = 60с, 1ч = 60мин); 2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в.

число 12 – “дюжина”: в сутках две дюжины часов). Счёт не по пальцам, а по суставам пальцев.

На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12; 3) в настоящее время наиболее распространёнными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная (широко используется в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами).

В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.

Покажем, как представляют в виде многочлена десятичное число:

Типы систем счисления

Самое главное, что нужно знать о системе счисления – её тип: аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет своё значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Для аддитивной (“добавительной”) системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4-5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).

Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа.

Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет).

Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления.

Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления.

“А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.

Очень интересно понятие “дюжина”. Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число – мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.

А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.

В разных цивилизациях считали по–разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда–то использовавшихся этим народом.

Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как “четырежды двадцать”.

Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X – это две таких же руки.

Источник: http://www.tadviser.ru/index.php/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F:%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

Системы счисления

Определение системы счисления
статьи

Системы счисления (нумерация) – совокупность способов обозначения натуральных чисел.

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая бóльшее число предметов, объединялась в понятии «много». Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног.

По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки.

В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился знак ~ (титло).

Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр.

При этом, если бóльшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед бóльшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бóльшей). Например, VI = 6, т.е. 5 + 1, IV = 4, т.е. 5 – 1, XL = 40, т е. 50 – 10, LX = 60, т.е. 50 + 10.

Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Другие же числа записываются, например, как:

XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 в., а в других странах Западной Европы – до 16 в.

В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C – 200, Л – 30, А – 1).

Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.

Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной является десятичная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла в Европу. В десятичной системе счисления основанием является число 10.

Существовали системы исчисления и с другими основаниями. В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты – на 60 секунд.

Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки.

Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда – числа 12 – «дюжина».

Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами, например, столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре. Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе – гросс – встречается теперь редко, но в торговой практике начала столетия оно еще бытовало.

Например, в написанном в 1928 стихотворении Плюшкин В.В.Маяковский, высмеивая людей, скупающих все подряд, писал: «…укупил двенадцать гроссов дирижерских палочек». У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления.

В Центральной Америке (у древних ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатеричная система. Все они также связаны со счетом на пальцах.

Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.

Позиционные и непозиционные системы счисления

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.

Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская.

Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.

Однако наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

Различие между позиционой и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях.

Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI.

Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается.

Основание системы – это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x = an·pn +an – 1·pn–1 + ap1 + ap0, где an

a0 – цифры в представлении данного числа. Так, например,

103510=1·103 + 0·102 + 3·101 + 5·100;

10102 = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20 = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе.

Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления? Есть различные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую на конкретных примерах.

Пусть нужно перевести число 567 из десятичной в двоичную систему. Сначала определяется максимальная степень двойки, такая, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу. В данном случае это 9, т.к. 29 =512, а 210 = 1024, что больше начального числа.

Таким образом получается число разрядов результата, оно равно 9 + 1 = 10, поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х могут стоять любые двоичные цифры. Вторая цифра результата находится так – двойка возводится в степень 9 и вычитается из исходного числа: 567 – 29 = 55. Остаток сравнивается с числом 28 = 256.

Так как 55 меньше 256, то девятый разряд – нуль, т.е. результат имеет вид 10хххххххх. Рассмотрим восьмой разряд. Так как 27 = 128 > 55, то и он будет нулевым.

Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх. 25 = 32 < 55, поэтому шестой разряд равен 1 (результат 10001ххххх). Для остатка 55 – 32 = 23 справедливо неравенство 24 = 16 < 23, что означает равенство единице пятого разряда. Аналогично получается в результате число 1000110111. Это число разлагается по степеням двойки:

567 = 1·29 + 0·28 + 0·27 + 0·26 + 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 1·21 + 1·20

При другом способе перевода чисел используется операция деления в столбик. Если взять то же число 567 и разделить его на 2, получается частное 283 и остаток 1. Та же операция производится и с числом 283. Частное – 141, остаток – 1.

Опять полученное частное делится на 2 и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, т.е.

1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.

Результат, естественно, не изменился: 567 в двоичной системе счисления записывается как 1 000 110 111.

Эти два способа применимы при переводе числа из десятичной системы в систему с любым основанием. Например, при переводе числа 567 в систему счисления с основанием 16 число сначала разлагается по степеням основания. Искомое число состоит из трех цифр, т.к. 162 = 256 

Источник: https://www.krugosvet.ru/node/41976

Аддитивные и мультипликативные системы счисления

Система счисления – понятие сложное, включающее в себя законы, по которым читаются и записываются числа, и по которым выполняются действия над ними. Для этого важно знать тип системы счисления. По типу различают аддитивную и мультипликативную системы счисления.

Для аддитивной характерно то, что каждая цифра имеет свое значение, для прочтения числа необходимо сложить все значения используемых цифр. Например:

$XXXXVI = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = 46$

Для второго типа характерно то, что цифра может иметь различные значения в зависимости от ее местоположения в числе.

Рисунок 1.

(иероглифы по порядку: $2$, $1000$, $4$, $100$, $2$, $10$, $5$)

В этой записи два раза используется иероглиф $«2»$, и в каждом случае он принимает разные значения $«2000»$ и $«20»$.

$2\cdot 1000 + 4\cdot 100 + 2\cdot 10 + 5 = 2425$

Для аддитивной («добавительной») системы необходимо знать все цифры-символы и их значения (их бывает до 4-5 десятков), а также порядок записи. Например, в латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение:

$IV = 5–1 = 4$

$VI = 5+1 = 6.$

Позиционные и непозиционные системы счисления

Все известные системы счисления делятся на:

  • позиционные;
  • непозиционные.

Непозиционные системы счисления появились задолго до позиционных. Последние являются, в свою очередь, результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

В непозиционных системах вес цифры не зависит от ее позиционирования в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе $XXI$ (двадцать один) вес цифры $X$ в обеих позициях равен $10$.

Замечание 2

Отличительным признаком непозиционной системы счисления является отсутствие в ней цифры $0$.

При разработке правил выполнения арифметических действий с числами возникла необходимость введения символа $«0»$, который впоследствии стал иметь большое значение при совершенствовании способов представления чисел.

Именно с появлением $0$ в наборе символов, являющихся цифрами, и связывают возникновение позиционных систем счисления, в которых вес каждой цифры соответствует занимаемой ею позиции в последовательности цифр, изображающих число.

Например, запись $56$ означает, что это число можно составить из $6$ единиц и $5$ десятков. Если поменять позиции цифр, можно получить другое число – $65$, содержащее $6$ десятков и $5$ единиц. Вес цифры $5$ уменьшился в $10$ раз, а вес цифры $6$ в $10$ раз вырос.

В любой позиционной системе счисления число представляется как многочлен. Например, представим десятичное число $4367$ в виде многочлена:

$4367 = 4000 + 300 + 60 + 7 = 4\cdot 103 + 3\cdot 102 + 6\cdot 101 + 7\cdot 100$,

где $10$ – основание десятичной системы.

Замечание 3

Важной характеристикой любой позиционной системы является ее основание, которое представляет собой количество разных знаков либо символов, использующихся в изображении цифр в данной системе. Основание системы используется для описания ее количественных характеристик.

Позиционные системы счисления бывают:

  • двоичные (имеют в основании две цифры $0$ и $1$);
  • восьмеричные (в основании цифры от $0$ до $7$);
  • десятичные (в основании цифры от $0$ до $9$);
  • шестнадцатеричные (в основании цифры от $0$ до $9$ и буквы $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$);
  • пятеричная (в основании цифры от $0$ до $4$, используется в Китае и в настоящее время);
  • двенадцатеричная (устаревшая, использовалась в начале $XX$ века).

На основе двоичной системы счисления построена работа всей вычислительной техники, поскольку цифра $0$ означает отсутствие сигнала, т.е. «выключено», а $1$ обозначает, что сигнал пошел, т.е. состояние «включено».

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления также используются в вычислительной технике (например, для организации передачи данных внутри компьютера).

Десятичная система счисления используется нами в повседневной жизни, это наша «арабская» система счета, в основании которой лежат цифры от $0$ до $9$.

История появления этих чисел достаточно запутана. Доподлинно известно, что они появились благодаря древним астрономам, а именно – их точным расчетам.

Как известно, в вавилонской системе счисления имелся знак, обозначающий пропущенный разряд. Во $II$ веке до н.э. с этими наблюдениями познакомились греческие астрономы.

Они стали использовать данную систему счисления, однако целые числа изображали не клиньями, как вавилонцы, а в алфавитной нумерации (дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления).

Нулевой разряд греческие астрономы изображали символом $«0»$ (первая буква греческого слова Ouden – ничто).

На рубеже $II$ и $VI$ веков н.э. индийские астрономы заимствовали у греческих шестидесятеричную систему и изображение круглого греческого нуля.

Индийцы совместили принципы греческой нумерации с китайской десятичной мультипликативной системой.

При этом они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми, что явилось завершающим этапом в создании десятичной системы счисления.

Превосходная работа индийских математиков была воспринята арабскими учеными, и Аль-Хорезми в $IX$ веке написал книгу «Индийское искусство счета», в которой описывает десятичную позиционную систему счисления. Простые и удобные правила сложения и вычитания больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее очень популярной среди европейских купцов.

В $XII$ в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу «Индийское искусство счета», и индийская система счета широко распространилась по всей Европе.

А поскольку работа Аль-Хорезми была написана на арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неверное название – «арабская».

Сами же арабы называют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе – индийским счетом.

Написание «арабских» цифр со временем претерпевало изменения. Написание, используемое нами, установилось в $XVI$ веке.

Рисунок 2.

Достаточно широко раньше использовалась двенадцатеричная система счисления. Она произошла от счета на пальцах. Счет вели большим пальцем руки, используя фаланги других четырёх пальцев: всего их $12$.

Замечание 4

Элементы данной системы используются и в наше время в Англии в системе мер ($1$ фут = $12$ дюймам) и в денежной системе ($1$ шиллинг = $12$ пенсам). Нередко встречаются в быту элементы двенадцатеричной системы счисления: чайные и столовые сервизы на $12$ персон.

Числа в английском языке от $1$ до $12$ имеют свое название, последующие числа являются составными:

Рисунок 3.

Для чисел от $13$ до $19$ – окончание слов – $teen$. Например, $15$ – $fiveteen$.

Замечание 5

Основным достоинством позиционных систем счисления является возможность записи больших чисел посредством малого количества цифр, а также упрощение выполнения арифметических действий с числами.

Источник: https://spravochnick.ru/informatika/sistemy_schisleniya/

Лекция 3 Системы счисления

Определение системы счисления

 3.1.Основные понятия систем счисления

 3.2.Виды систем счисления

 3.3.Правила перевода чисел из одной системысчисления в другую

 3.4.Иллюстрированный вспомогательныйматериал

 3.5.Тестирование

 3.6.Контрольные вопросы

Разные народы в разныевремена использовали разные системысчисления. Следы древних систем счетавстречаются и сегодня в культуре многихнародов.

К древнему Вавилону восходитделение часа на 60 минут и угла на 360градусов. К Древнему Риму – традициязаписывать в римской записи числа I, II,III и т. д.

К англосаксам – счет дюжинами:в году 12 месяцев, в футе 12 дюймов, суткиделятся на 2 периода по 12 часов.

По современным данным,развитые системы нумерации впервыепоявились в древнем Египте. Для записичисел египтяне применяли иероглифыодин, десять, сто, тысяча и т.д. Всеостальные числа записывались с помощьюэтих иероглифов и операции сложения.Недостатки этой системы – невозможностьзаписи больших чисел и громоздкость.

В конце концов, самойпопулярной системой счисления оказаласьдесятичная система. Десятичная системасчисления пришла из Индии, где онапоявилась не позднее VI в. н. э.

В ней всего10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 но информациюнесет не только цифра, но также и местопозиция, на которой она стоит. В числе444 три одинаковых цифры обозначаютколичество и единиц, и десятков, и сотен.

А вот в числе 400 первая цифра обозначаетчисло сотен, два 0 сами по себе вклад вчисло не дают, а нужны лишь для указанияпозиции цифры 4.

3.1. Основные понятия систем счисления

Система счисления– это совокупность правил и приемовзаписи чисел с помощью набора цифровыхзнаков. Количество цифр, необходимыхдля записи числа в системе, называютоснованием системысчисления. Основаниесистемы записывается в справа числа внижнем индексе: ;;ит. д.

Различают два типа систем счисления:

позиционные, когда значение каждойцифры числа определяется ее позициейв записи числа;

непозиционные, когда значение цифрыв числе не зависит от ее места в записичисла.

Примером непозиционной системы счисленияявляется римская: числа IX, IV, XV и т.д.

Примером позиционнойсистемы счисления является десятичнаясистема, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системеможно записать в форме многочлена:

где S-основание системы счисления;

-цифры числа, записанного в данной системесчисления;

n – количество разрядов числа.

Пример. Числозапишетсяв форме многочлена следующим образом:

3.2. Виды систем счисления

Римская система счисленияявляетсянепозиционной системой. В ней для записичисел используются буквы латинскогоалфавита. При этом буква I всегда означаетединицу, буква – V пять, X – десять, L -пятьдесят, C – сто, D – пятьсот, M – тысячуи т.д. Например, число 264 записывается ввиде CCLXIV.

При записи чисел в римскойсистеме счисления значением числаявляется алгебраическая сумма цифр, внего входящих. При этом цифры в записичисла следуют, как правило, в порядкеубывания их значений, и не разрешаетсязаписывать рядом более трех одинаковыхцифр. В том случае, когда за цифрой сбольшим значением следует цифра сменьшим, ее вклад в значение числа вцелом является отрицательным.

Типичныепримеры, иллюстрирующие общие правилазаписи чисел в римской система счисления,приведены в таблице.

Таблица 2.Запись чисел в римскойсистеме счисления

12345
IIIIIIIVV
678910
VIVIIVIIIIXX
1113181922
XIXIIIXVIIIXIXXXII
3439406099
XXXIVXXXIXXLLXXCIX
2004386499991207
CCCDXXXVIIIDCXLIXCMXCIXMCCVII
20453555367839003999
MMXLVMMMDLVMMMDCLXXVIIIMMMCMMMMCMXCIX

Недостатком римской системыявляется отсутствие формальных правилзаписи чисел и, соответственно,арифметических действий с многозначнымичислами.

По причине неудобства и большойсложности в настоящее время римскаясистема счисления используется там,где это действительно удобно: в литературе(нумерация глав), в оформлении документов(серия паспорта, ценных бумаг и др.), вдекоративных целях на циферблате часови в ряде других случаев.

Десятичня система счисления– внастоящее время наиболее известная ииспользуемая. Изобретение десятичнойсистемы счисления относится к главнымдостижениям человеческой мысли.

Безнее вряд ли могла существовать, а темболее возникнуть современная техника.Причина, по которой десятичная системасчисления стала общепринятой, вовсе нематематическая.

Люди привыкли считатьв десятичной системе счисления, потомучто у них по 10 пальцев на руках.

Древнее изображениедесятичных цифр (рис. 1) не случайно:каждая цифра обозначает число поколичеству углов в ней. Например, 0 -углов нет, 1 – один угол, 2 – два угла и т.д.Написание десятичных цифр претерпелосущественные изменения. Форма, котороймы пользуемся, установилась в XVI веке.

Десятичная система впервыепоявилась в Индии примерно в VI векеновой эры. Индийская нумерация использоваладевять числовых символов и нуль дляобозначения пустой позиции.

В раннихиндийских рукописях, дошедших до нас,числа записывались в обратном порядке- наиболее значимая цифра ставиласьсправа. Но вскоре стало правиломрасполагать такую цифру с левой стороны.

Особое значение придавалось нулевомусимволу, который вводился для позиционнойсистемы обозначений. Индийская нумерация,включая нуль, дошла и до нашего времени.В Европе индусские приёмы десятичнойарифметики получили распространениев начале ХIII в.

благодаря работамитальянского математика ЛеонардоПизанского (Фибоначчи). Европейцызаимствовали индийскую систему счисленияу арабов, назвав ее арабской. Этоисторически неправильное названиеудерживается и поныне.

Десятичная система используетдесять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а такжесимволы “+” и “–” для обозначениязнака числа и запятую или точку дляразделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинахиспользуется двоичнаясистема счисления,её основание – число 2. Для записи чиселв этой системе используют только двецифры – 0 и 1.

Вопреки распространенномузаблуждению, двоичная система счислениябыла придумана не инженерами-конструкторамиЭВМ, а математиками и философами задолгодо появления компьютеров, еще в ХVII – ХIХвеках.

Первое опубликованное обсуждениедвоичной системы счисления принадлежитиспанскому священнику Хуану КарамюэлюЛобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание кэтой системе привлекла статья немецкогоматематика Готфрида Вильгельма Лейбница,опубликованная в 1703 г.

В ней пояснялисьдвоичные операции сложения, вычитания,умножения и деления. Лейбниц нерекомендовал использовать эту системудля практических вычислений, ноподчёркивал её важность для теоретическихисследований. Со временем двоичнаясистема счисления становится хорошоизвестной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для примененияв вычислительной технике объясняетсятем, что электронные элементы – триггеры,из которых состоят микросхемы ЭВМ, могутнаходиться только в двух рабочихсостояниях.

С помощью двоичной системы кодированияможно зафиксировать любые данные изнания. Это легко понять, если вспомнитьпринцип кодирования и передачи информациис помощью азбуки Морзе. Телеграфист,используя только два символа этой азбуки- точки и тире, может передать практическилюбой текст.

Двоичная система удобнадля компьютера, но неудобна для человека:числа получаются длинными и их труднозаписывать и запоминать. Конечно, можноперевести число в десятичную системуи записывать в таком виде, а потом, когдапонадобится перевести обратно, но всеэти переводы трудоёмки.

Поэтомуприменяются системы счисления, родственныедвоичной – восьмеричнаяи шестнадцатеричная.Для записи чисел в этих системах требуетсясоответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричнойпервые 10 цифр общие, а дальше используютзаглавные латинские буквы.

Шестнадцатеричнаяцифра A соответствует десятеричномучислу 10, шестнадцатеричная B – десятичномучислу 11 и т. д. Использование этих системобъясняется тем, что переход к записичисла в любой из этих систем от егодвоичной записи очень прост.

Нижеприведена таблица соответствия чисел,записанных в разных системах.

Таблица 3. Соответствие чисел, записанныхв различных системах счисления

ДесятичнаяДвоичнаяВосьмеричнаяШестнадцатеричная
100111
201022
301133
410044
510155
611066
711177
81000108
91001119
10101012A
11101113B
12110014C
13110115D
14111016E
15111117F
16100002010

Источник: https://StudFiles.net/preview/4073331/page:7/

Системы счисления – Информатика и ИКТ

Определение системы счисления

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

  • непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
  • позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Основание системы счисления —количество различных цифр, используемых в этой системе.Вес разряда —отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

pi = si,
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

число5372.25
номера разрядов 3210-1-2

Перевод в десятичную систему счисления

По определению веса разряда

pi = si,
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

x = ansn + an-1sn-1 + … + a2s2 + a1s1 + a0s0 + a-1s-1 + …

Например, для системы счисления с основанием 4:

1302.24 = 1⋅43 + 3⋅42 + 0⋅41 + 2⋅40 + 2⋅4-1

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

1302.24 = 1⋅43 + 3⋅42 + 0⋅41 + 2⋅40 + 2⋅4-1 = = 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

  1. пронумеровать разряды исходного числа;
  2. записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
  3. выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Перевод из десятичной системы счисления

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

13024 = 1⋅43 + 3⋅42 + 0⋅41 + 2⋅40 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

(1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

  1. Выполнить последовательное деление с остатком исходного числа и каждого полученного частного на основание новой системы счисления.
  2. Записать вычисленные остатки, начиная с последнего (т.е. в обратном порядке)

Системы счисления с кратными основаниями

При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем осуществляется без вычислений. 

Достаточно заменить каждый разряд шестнадцатеричной записи четырьмя (16=24) разрядами двоичной (и наоборот) по таблице. 

Примеры:

шестнадцатеричная -> двоичная
A32E
1010001100101110
двоичная -> шестнадцатеричная
(00)10101001111101
2A7D

Аналогично происходит и перевод между двоичной и восьмеричной системой, только разряд восьмеричной соответствует трем разрядам двоичной (8=23)

Примеры:

восьмеричная -> двоичная
5321
101011010001
двоичная -> восьмеричная
(0)10101001111101
25175

Арифметические операции в позиционной системе с любым основанием производятся по одним и тем же правилам: сложение, вычитарние и умножение «в столбик», а деление — «уголком». Рассмотрим пример выполнения действий сложения и вычитания в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Сложение

Двоичная система:

(перенос)
10011011
1001110
11101001
76543210(номера разрядов)

В нулевом разряде: 1 + 0 = 0

В первом разряде: 1 + 1 = 2. 2 переносится в старший (2-й) разряд, обращаясь в единицу переноса. В первом разряде остается 2 – 2 = 0.

Во втором разряде: 0 + 1 + 1 (перенос) = 2; Переносим в старший разряд,

В третьем разряде: 1 + 1 + 1 (перенос) = 3; В старший разряд переносим 2, здесь остается 3 – 2 = 1.

Продолжая вычисления, получим:

100110112 + 10011102 = 111010012

Восьмеричная система:

(перенос)
34261
4435
40716
43210(номера разрядов)

Выполняем вычисления аналогично двоичной системе, но в старший разряд переносим 8. Получаем:

342618 + 44358 = 407168

Шестнадцатеричная система:

(перенос)
A391
8534
128C5
43210(номера разрядов)

A39116 + 853416 = 128C516 

Двоичная система:

(перенос)
10011011
1001110
1001101
76543210(номера разрядов)

В нулевом разряде: 1 – 0 = 1

В первом разряде: 1 – 1 = 0. 

Во втором разряде: 0 – 1; необходимо занять единицу старшего разряда. Поскольку веса разрядов двоичной системы отличаются в 2 раза: 2 + 0 – 1 = 1

Из третьего разряда занимали единицу, там остался 0, поэтому вновь нужно занимать из старшего разряда.

Продолжая вычисления, получим:

100110112 – 10011102 = 10011012

Восьмеричная система:

(перенос)
34261
4435
27624
43210(номера разрядов)

Выполняем вычисления аналогично двоичной системе, но, занимая из старшего разряда, получаем 8. В результате:

342618 – 44358 = 276248

Шестнадцатеричная система:

(перенос)
A391
8534
1E3D
43210(номера разрядов)

A39116 – 853416 = 1E3D16 

  • А-1. Перевод чисел между десятичной системой счисления и системами с другими основаниями
  • А-2. Перевод чисел между системами счисления с основаниями 2, 8 и 16
  • А-3. Арифметика позиционных систем счисления 

Задания представлены в формате PDF.

Источник: https://www.sites.google.com/site/415ict/textbooks/numbers

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.