Определение окрестности точки

Предел функции — MT1205: Математический анализ для экономистов — Бизнес-информатика

Определение окрестности точки

Рассмотрим функцию %%f(x)%%, определенную, по крайней мере, в некоторой проколотой окрестности %%\stackrel{\circ}{\text{U}}(a)%% точки %%a \in \overline{\mathbb{R}}%% расширенной числовой прямой.

Понятие предела по Коши

Число %%A \in \mathbb{R}%% называют пределом функции %%f(x)%% в точке %%a \in \mathbb{R}%% (или при %%x%%, стремящемся к %%a \in \mathbb{R}%%), если, каково бы ни было положительное число %%\varepsilon%%, найдется положительное число %%\delta%%, такое, что для всех точек проколотой %%\delta%%-окрестности точки %%a%% значения функции принадлежат %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%, или

$$ A = \lim\limits_{x \to a}{f(x)} \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text{U}_\varepsilon (A) \big) $$

Это определение называется определением на языке %%\varepsilon%% и %%\delta%%, предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.

Комбинируя различные окрестности точки %%a%% вида %%\stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a), \text{U}_\delta (\infty), \text{U}_\delta (-\infty), \text{U}_\delta (+\infty), \text{U}_\delta+ (a), \text{U}_\delta- (a)%% с окрестностями %%\text{U}_\varepsilon (A), \text{U}_\varepsilon (\infty), \text{U}_\varepsilon (+\infty), \text{U}_\varepsilon (-\infty)%%, получим 24 определения предела по Коши.

Геометрический смысл

Геометрический смысл предела функции

Выясним, в чем заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции %%y = f(x)%% и отметим на нем точки %%x = a%% и %%y = A%%.

Предел функции %%y = f(x)%% в точке %%x \to a%% существует и равен A, если для любой %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%% можно указать такую %%\delta%%-окрестность точки %%a%%, что для любого %%x%% из этой %%\delta%%-окрестности значение %%f(x)%% будет находиться в %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%.

Отметим, что по определению предела функции по Коши для существования предела при %%x \to a%% не важно, какое значение принимает функция в самой точке %%a%%. Можно привести примеры, когда функция не определена при %%x = a%% или принимает значение, отличное от %%A%%. Тем не менее предел может быть равен %%A%%.

Определение предела по Гейне

Элемент %%A \in \overline{\mathbb{R}}%% называется пределом функции %%f(x)%% при %% x \to a, a \in \overline{\mathbb{R}}%%, если для любой последовательности %%\{x_n\} \to a%% из области определения, последовательность соответствующих значений %%\big\{f(x_n)\big\}%% стремится к %%A%%.

Определение предела по Гейне удобно использовать, когда возникают сомнения в существовании предела функции в данной точке.

Если можно построить хотя бы одну последовательность %%\{x_n\}%% с пределом в точке %%a%% такую, что последовательность %%\big\{f(x_n)\big\}%% не имеет предела, то можно сделать вывод о том, что функция %%f(x)%% не имеет предела в этой точке.

Если для двух различных последовательностей %%\{x'_n\}%% и %%\{x''_n\}%%, имеющих одинаковый предел %%a%%, последовательности %%\big\{f(x'_n)\big\}%% и %%\big\{f(x''_n)\big\}%% имеют различные пределы, то в этом случае также не существует предел функции %%f(x)%%.

Пример

Пусть %%f(x) = \sin(1/x)%%. Проверим, существует ли предел данной функции в точке %%a = 0%%.

Выберем сначала сходящуюся к этой точке последовательность $$ \{x_n\} = \left\{\frac{(-1)n}{n\pi}\right\}. $$

Ясно, что %%x_n e 0~\forall~n \in \mathbb{N}%% и %%\lim {x_n} = 0%%. Тогда %%f(x_n) = \sin{\left((-1)n n\pi\right)} \equiv 0%% и %%\lim\big\{f(x_n)\big\} = 0%%.

Затем возьмем сходящуюся к той же точке последовательность $$ x'_n = \left\{ \frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$

для которой %%\lim{x'_n} = +0%%, %%f(x'_n) = \sin{\big((4n + 1)\pi/2\big)} \equiv 1%% и %%\lim\big\{f(x'_n)\big\} = 1%%. Аналогично для последовательности $$ x''_n = \left\{-\frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$

также сходящейся к точке %%x = 0%%, %%\lim\big\{f(x''_n)\big\} = -1%%.

Все три последовательности дали разные результаты, что противоречит условию определения по Гейне, т.е. данная функция не имеет предела в точке %%x = 0%%.

Теорема

Определение предела по Коши и по Гейне эквивалентны.

{\text{U}}(a)%% точки %%a \in \overline{\mathbb{R}}%% расширенной числовой прямой.…”,”word_count”:535,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: https://it.rfei.ru/course/~Eyun/~I8wki7/~OvpMiq

Окрестность точки

Определение окрестности точки

Рассмотрено общее определение окрестности точки на числовой прямой. Определения эпсилон окрестности, левосторонней, правосторонней и проколотых окрестностей конечных и бесконечно удаленных точек. Свойство окрестности. Доказана теорема о равносильности использования эпсилон окрестности и произвольной окрестности в определении предела функции по Коши.

Окрестностью действительной точки x0 называется любой открытый интервал, содержащий эту точку:
.
Здесь ε1 и ε2 – произвольные положительные числа.

Эпсилон – окрестностью точки x0 называется множество точек, расстояние от которых до точки x0 меньше ε:
.

Проколотой окрестностью точки x0 называется окрестность этой точки, из которой исключили саму точку x0:
.

Окрестности конечных точек

В самом начале было дано определение окрестности точки. Ее обозначают как . Но можно явно указать, что окрестность зависит от двух чисел, используя соответствующие аргументы:
(1)   .
То есть окрестность – это множество точек, принадлежащее открытому интервалу .

Приравняв ε1 к ε2, получим эпсилон – окрестность:
(2)   .
Эпсилон – окрестность – это множество точек, принадлежащее открытому интервалу с равноудаленными концами.
Разумеется, букву эпсилон можно заменить на любую другую и рассматривать δ – окрестность, σ – окрестность, и т.д.

В теории пределов можно использовать определение окрестности, основанное как на множестве (1), так и на множестве (2). Использование любой из этих окрестностей дает эквивалентные результаты (см. теорему ниже ⇓). Но определение (2) проще, поэтому часто используют именно эпсилон – окрестность точки, определяемую из (2).

Также широко используют понятия левосторонних, правосторонних и проколотых окрестностей конечных точек. Приводим их определения.

Левосторонняя окрестность действительной точки x0 – это полуоткрытый интервал, расположенный на действительной оси слева от точки x0, включая саму точку:
;
.

Правосторонняя окрестность действительной точки x0 – это полуоткрытый интервал, расположенный справа от точки x0, включая саму точку:
;
.

Проколотые окрестности конечных точек

Проколотые окрестности точки x0 – это те же самые окрестности, из которых исключена сама точка. Они обозначаются с кружочком над буквой. Приводим их определения.

Проколотая окрестность точки x0:
.

Проколотая эпсилон – окрестность точки x0:
;
.

Проколотая левосторонняя окрестность:
;
.

Проколотая правосторонняя окрестность:
;
.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Наряду с конечными точками, также вводят окрестности бесконечно удаленных точек. Все они являются проколотыми, поскольку не существует бесконечно удаленного действительного числа (бесконечно удаленная точка определяется как предел бесконечно большой последовательности).

.
;
;
.

Можно было определить окрестности бесконечно удаленных точек и так:
.
Но вместо M мы используем , чтобы окрестность с меньшим ε являлась подмножеством окрестности с большим ε, как и для окрестностей конечных точек.

Свойство окрестности

Далее мы используем очевидное свойство окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Оно заключается в том, что окрестности точек с меньшими значениями ε являются подмножествами окрестностей с большими значениями ε. Приводим более строгие формулировки.

Пусть есть конечная или бесконечно удаленная точка. И пусть . Тогда

;

;
;
;
;
;
;
.

Также справедливы и обратные утверждения.

Эквивалентность определений предела функции по Коши

Теперь покажем, что в определении предела функции по Коши, можно использовать как произвольную окрестность , так и окрестность с равноудаленными концами .

Теорема
Определения предела функции по Коши, в которых используются произвольные окрестности и окрестности с равноудаленными концами эквивалентны.

Доказательство

Сформулируем первое определение предела функции.
Число a является пределом функции в точке (конечной или бесконечно удаленной), если для любых положительных чисел существуют такие числа , зависящие от и , что для всех , принадлежит соответствующей окрестности точки a:
.

Сформулируем второе определение предела функции.
Число a является пределом функции в точке , если для любого положительного числа существует такое число , зависящее от , что для всех :
.

Доказательство 1 ⇒ 2

Докажем, что если число a является пределом функции по 1-му определению, то оно также является пределом и по 2-му определению.

Пусть выполняется первое определение. Это означает, что имеются такие функции и , так что для любых положительных чисел выполняется следующее:
при , где .

Поскольку числа и произвольные, то приравняем их:
.
Тогда имеются такие функции и , так что для любого выполняется следующее:
при , где .

Заметим, что .
Пусть есть наименьшее из положительных чисел и . Тогда, согласно отмеченному выше свойству ⇑,
.
Если , то .

То есть мы нашли такую функцию , так что для любого выполняется следующее:
при , где .
Это означает, что число a является пределом функции и по второму определению.

Доказательство 2 ⇒ 1

Докажем, что если число a является пределом функции по 2-му определению, то оно также является пределом и по 1-му определению.

Пусть выполняется второе определение. Возьмем два положительных числа и . И пусть – наименьшее из них. Тогда, согласно второму определению, имеется такая функция , так что для любого положительного числа и для всех , следует, что
.

Но согласно свойству окрестностей ⇑, . Поэтому из того, что следует, что
.

Тогда для любых положительных чисел и , мы нашли два числа , так что для всех :
.

Это означает, что число a является пределом и по первому определению.

Теорема доказана.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Олег Одинцов.     : 23-04-2018

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/predel-funktsii/okrestnost-tochki/

Понятие окрестности точки

Определение окрестности точки

Абсолютнаявеличина (или модуль)действительного числа х – это само числох, если х неотрицательно, и противоположноечисло -х, если х отрицательно:

Некоторыесвойства абсолютных величин:

  1. |х| ≥ 0 (по определению);

  2. |х + y|  |х| + |y|;

  3. |х – y| ≥ |х| – |y|;

  4. |хy| = |х||y|;

  5. |х/y| = |х|/|y|.

Абсолютнаявеличина разности двух чисел |х – а|означает расстояние между точками х иа числовой прямой как для случая х а (см. рис. 1.2). Поэтому,например, решениями неравенства |х – а|< (где > 0) будут точки х интервала ]а – ,а + [.

Окрестностьточки.Всякий интервал, содержащий точку а,называется окрестностью точки а.

Интервал]а -,а + [,т.е. множество точек х таких, что |х – а|< (где > 0) называется -окрестностьюточки а (см. рис. 1.3).

Функциональная зависимость

Постояннойвеличиной (константой) называетсявеличина, сохраняющая одно и то жезначение.

Переменнойназывается величина, которая можетпринимать различные числовые значения.

Функция– это соответствие (закон), согласнокоторому каждому элементу х множестваX (х X) ставится в соответствие вполнеопределенный элемент у множества Y (у Y) (этот элементyобязательно должен быть только одиндля любого х)..

Приэтом говорят, что на множестве X заданафункция y= f(x).

Переменнаях называется независимой переменной(или аргументом), у – зависимой переменной,а буква fобозначает закон соответствия.

МножествоX называется областьюопределения(или существования) функции, а множествоY- областьюзначенийфункции.

Еслимножество X специально не оговорено, топод областью определения функцииподразумевается область допустимыхзначений независимой переменной х, т.е.множество таких значений х, при которыхфункция у = f(х)вообще имеет смысл.

Например,область определения функции есть промежуток [5; +[,так как под знаком корня должно стоятьнеотрицательное выражение (х – 5 ≥ 0).

Способызадания функций.Существуетнесколько способов задания функций:

а) Аналитическийспособ, если функция задана формулойвида y = f(x). Этот способ наиболее частовстречается на практике. Например,функция задана аналитически.

Спомощью формулы функция может бытьзадана явноили неявно.Задание будет явным, если правая частьформулы не содержит зависимую переменную.Например, в формуле правая часть не содержит y, поэтомуфункция задана явно. Пример неявногозадания функции – выражение x3+ y2= 2. С помощью этого выражения неявнозаданы две функции – для y> 0 и дляy< 0.

б) Табличныйспособсостоит в том, что функция задаетсятаблицей, содержащей значения аргументах и соответствующие значения функцииf(x). Например, прайс-лист, в которомкаждому номеру товара соответствуетего цена.

в) Графическийспособ состоит в изображении графикафункции – множества точек (х, y),абсциссы которых есть значения аргументах, а ординаты – соответствующие имзначения y(см. рисунок 1.3).

Основные свойства функций

1.Четность и нечетность.Функция y = f(x) называется четной длялюбых значений х из области определения,если f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x) = -f(x). Впротивном случае функция называетсяфункцией общеговида.

Например,функция у = х2является четной, так как (-х)2= х2;а функция у = х3– нечетной, так как (-х)3= -х3.Функция у = f(x) = х2+х3является функцией общего вида, так какf(-x) = (-х)2+(-х)3= х2- х3.При этом f(-x) f(x) и f(-x) - f(x).

Графикчетной функции симметричен относительнооси ординат (например, функции у = х2),а график нечетной функции симметриченотносительно начала координат (например,график функции у = х3).

2.Монотонность.Функция y= f(x) называется возрастающей(убывающей)на некотором промежутке, еcлибольшему значению аргумента из этогопромежутка соответствует большее(меньшее) значение функции.

Пустьх1,х2X и х2> х1.Тогда функция возрастает на промежуткеX, если f(x2)> f (х1)и убывает, если f(x2)< f (х1).

Вобоих случаях функции называются строгомонотонными.Если два последних неравенства –нестрогие (т.е. f(x2)≥ f (х1)и f(x2)f (х1)),то функции называют соответственнонеубывающимии невозрастающими.

Например,функция у = х2убываетдля неположительных значений аргумента(т.е. на промежутке ]-;0]) и возрастает для неотрицательных.

3.Ограниченность. Функцияy= f(x) называетсяограниченнойнанекотором промежуткеX,если существует такое положительноечисло М, что модуль значения функции непревышает этого числа для любогоаргумента из этого промежутка. (М > 0:|f(x)|Mдля любого хX)

В противном случаефункция называется неограниченной.

Например, функция у =cosх ограничена на всейчисловой оси, так как |cosх|1. Функция у = х не ограничена на ]-;+[.

Если в определениирассматривать не модуль значенияфункции, а само значение, которое должнобыть не меньше или не больше числа М, томожно говорить об ограниченности снизуили сверху.

4.Периодичность.Функция y= f(x) называется периодической с периодомТ 0, если для любых х из области определенияf(х + Т) = f(x).

Например3,функция у = sin х имеет период Т = 2,так как sin (х +2)= sin х.

Обратнаяфункция.Если для функции y= f(x) различным аргументам х1х2соответствуют различные значенияфункции y1y2,то можно определить функцию x= (y),которая каждому число y= f(x) ставит в соответствие число х. Такуюфункцию называют обратнойдля f и обозначают f-1.(неследует путать это обозначение свозведением в степень (-1)).

Изэтого определения следует, что для любойстрого монотонной функции существуетобратная функция.

Например,для функции у=ахобратной будет функция x=lоgaу(или в обычных обозначениях зависимойи независимой переменных у= lоgах).

Графикивзаимно обратных функций симметричныотносительно биссектрисы первого итретьего координатных углов (относительнопрямой y= x)(см. рис. 1.3).

Сложнаяфункция.

Пусть функция y= f (u)есть функция от переменной u,определенной на множестве U c областьюзначений Y,а переменная u,в свою очередь, является функцией u= (х) от переменной х, определенной намножестве X с областью значений U. Тогдазаданная на множестве X функция y= f [(х)] называется сложнойфункцией (или композицией функций,суперпозицией функций, функцией отфункции).

Например,у = lg sin х — сложная функция, так как ееможно представить в виде у= lg u,где u= sin х.

Источник: https://StudFiles.net/preview/3166200/page:2/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.