Определение момента силы относительно точки

Техническая механика

Определение момента силы относительно точки


Говорят, что когда-то великий Архимед изрек фразу: “Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю”.

Современная физика утверждает, что с практической точки зрения, мудрый грек, конечно же, погорячился – даже сдвинуть на доли миллиметра такой массив, как планета с помощью мускульной силы человека – занятие не одного года, а уж перевернуть Землю…

Тем не менее, с теоретической точки зрения Архимед прав – если найти соответствующую точку опоры, то с помощью рычага Землю сдвинуть с места может даже комар. Дело в том, что здесь играет роль не сила, как таковая, а ее момент.

Что же такое – момент силы? Следует сразу оговориться, что момент силы – понятие относительное, поскольку без указания того, относительно какой точки он рассматривается, понятие момента силы теряет смысл (не путать с моментом пары сил, о котором речь пойдет в следующих статьях).

Рассмотрим гайку, которую затягивают гаечным ключом определенной длины, прикладывая к концу ключа мускульное усилие.
Если взять более длинный ключ, то гайку можно завернуть значительно сильнее, прикладывая одинаковое усилие.

Из этого следует, что одной и той же силой можно выполнить различное по эффективности вращающее действие на какое-либо тело.

В этом и кроется понятие момента силы – это вращающее действие силы относительно какой-либо точки в пространстве.

Понятие момента силы относительно точки ввел гениальный итальянец Леонардо да Винчи (1452-1519), который известен потомкам не только, как великий художник, но и видный ученый своего времени.

Итак, по определению, момент силы относительно точки – это произведение модуля силы на ее плечо.
Плечом в данном случае называется кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до линии действия силы, т. е. перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы (см. рисунок b).
Математически это определение можно представить в виде формулы:

М0(F) = Fh,     где h – плечо силы относительно точки 0.

Точка, относительно которой рассматривается момент силы, называется центром момента.

Из приведенной выше формулы очевидно, что единицей измерения момента силы является ньютон × метр (Нм).



Теперь можно оценить справедливость высказывания Архимеда относительно возможности перевернуть Землю – при определенном плече силы, которую способны развить человеческие мускулы, это сделать теоретически возможно, но рука Архимеда должна была описать путь длиной в сотни тысяч километров для того, чтобы сдвинуть земной шар на доли миллиметра, поскольку потребовался бы огромной длины рычаг. Как вы понимаете, практически осуществить подобный подвиг нереально даже для такого уважаемого гения, как Архимед.

Впрочем, бытующее утверждение о трудностях, связанных с перемещением Земли человеческой рукой не совсем безгрешны. Ведь мы, как обыватели, привыкли рассматривать Землю, как весомый предмет, забывая что она, будучи в космическом пространстве, обладает совсем другими весовыми категориями.

Поэтому справедливее будет рассматривать не расстояние, на которое мог бы сдвинуть земной шар Архимед, а ускорение, с которым он попытался бы сдвинуть планету со своего места, т. е. фактически – побороть силу инерции Земли, как тела.

И тогда ему не потребовался бы рычаг непомерной длины – прикладывая незначительную силу, сдвинуть Землю можно было бы и двухметровой палкой, но здесь уже возник бы вопрос о времени, в течении которого необходимо было давить на рычаг, чтобы побороть инертность земного шара (как вы понимаете, мускульная сила человека не способна придать планете существенного ускорения).

Опять же, возникает еще одна проблема – Архимеду потребовался бы надежный упор для ног, способный противостоять возмущению Земли на нахальную попытку Архимеда сдвинуть ее с места, а где его найти в открытом космосе?…

Осталось разобраться со знаками для момента силы, ведь он, как и сила, является векторной величиной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением своего вращающего действия.

При расчетах в технической механике условно считают, что если момент силы стремиться вращать свое плечо вокруг центра момента против часовой стрелки, то он является положительным, если по часовой стрелке – отрицательным (см. рисунок a).

Одна и та же сила относительно разных точек может вызывать и положительный, и отрицательный момент (см. рисунок a).

Отдельный случай, когда рассматриваемая точка (центр момента) лежит на линии действия силы. Очевидно, что в этом случае момент силы относительно этой точки будет равен нулю, поскольку плечо отсутствует (расстояние от линии действия силы до точки равно нулю).

И еще одна важная деталь, которая следует из определения момента силы относительно точки: если переносить силу вдоль линии ее действия, то момент силы относительно любой точки не изменится, поскольку не изменится и расстояние от этой точки до линии действия силы, т. е. плечо (см. рисунок с).

***

Плоская система пар сил



Олимпиады и тесты

Источник: http://k-a-t.ru/tex_mex/11-statika_moment/

7. Основные понятия и определения статики. Момент силы. Пара сил

Определение момента силы относительно точки

Материальные объекты в статике:

материальная точка,

система материальных точек,

абсолютно твердое тело.

Системой материальных точек, или механической системой, называется такая совокупность материальных точек, в которой положение и движение каждой точки зависит от положения и движения других точек этой системы.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между двумя точками которого не изменяется.

Твердое тело может находиться в состоянии покоя или движения определенного характера. Каждое их этих состояний будем называть кинематическим состоянием тела.

Сила – мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия.Сила  может быть приложена в точке, тогда эта сила – сосредоточенная.Сила может действовать на все точки данного объема или поверхности тела, тогда эта сила – распределенная.
Система сил – совокупность сил, действующих на данное тело.
Равнодействующей называется сила, эквивалентная некоторой системе сил.
Уравновешивающей силой называется сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону.
Системой взаимно уравновешивающихся сил называется система сил, которая будучи приложенной к твердому телу, находящемуся в покое, не выводит его из этого состояния.

 

         Внутренние силы – это силы, которые действуют между точками или телами данной системы.

         Внешние силы – это силы, которые действуют со стороны точек или тел, не входящих в данную систему.

         Задачи статики:

        –  преобразование систем сил, действующих на твердое тело в эквивалентные им системы;  

        – исследование условий равновесия тел под действием приложенных к ним сил.

1.                Аксиомы статики.

1. Аксиома инерции. Под действием взамно-уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.2. Аксиома равновесия двух сил. Две силы, приложенные к твердому телу взаимно уравновешиваются только в том случае, если их модули равны и они направлены по одной прямой в противоположные стороны.
3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно-уравновешивающихся сил.Следствие. Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменным ее модуль и направление.Сила скользящий вектор.
4. Аксиома параллелограмма сил. Равнодействующая  двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.   

5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

 2.   Связи и их реакции

Твердое тело называется свободным, если оно может перемещаться в пространстве в любом направлении.

Тело, ограничивающее свободу движения данного твердого тела, является по отношению к нему связью.

Твердое тело, свобода движения которого ограничено связями, называется несвободным.

Все силы, действующие на несвободное твердое тело, можно разделить на:

  • задаваемые (активные)
  • реакции связей

Задаваемая сила  выражает действие на данное тело других тел, способных вызвать изменение его кинематического состояния.

Реакция связи – это сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям.

Принцип освобождаемости твердых тел от связей – несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, на которое кроме задаваемых сил, действуют реакции связей.

Как определить направление реакции?

         Если существует два взаимно перпендикулярных направления на плоскости, в одном из которых связь препятствует перемещению тела, а в другом нет, то направление ее реакции противоположно первому направлению.

В общем случае направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

Неподвижный шарнирПодвижныйшарнир

  3. Момент силы  относительно центра

Моментом силы F относительно некоторого неподвижного  центра О называется вектор, расположенный перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор силы и центр О, направленный в ту сторону, чтобы смотря с его конца можно было видеть поворот силы F относительно центра О против часовой стрелки.

Свойства момента силы относительно центра:

1)   Модуль момента силы относительно центра может быть выражен удвоенной площадью треугольника ОАВ      (1.1)2)   Момент силы относительно центра равен нулю в том случае, если линия действия силы проходит через эту точку, то есть h = 0.
3)   Если из точки О в точку приложения силы А провести радиус вектор , то вектор момента силы можно выразить векторным произведением            (1.2)
4)   При переносе силы по линии ее действия вектор ее момента относительно данной точки не изменяется.
5)   Если через центр О провести оси координат   Охуz   то   выражение(4.2) позволяет вычислить момент МО аналитически относительно координатных осей.          (1.3)

 Если к твердому телу приложено несколько сил, лежащих в одной плоскости, можно вычислить алгебраическую сумму моментов этих сил относительно любой точки этой плоскости

            Момент МО, равный алгебраической сумме моментов данной системы относительно какой-либо точки в той же плоскости, называют главным моментом системы сил относительно этой точки.

3. Момент силы относительно оси

Чтобы определить момент силы относительно оси необходимо:

1)     провести плоскость, перпендикулярную к оси Z;

2)     определить точку О  пересечения оси с плоскостью;

3)     спроецировать ортогонально силу F на эту плоскость;

4)     найти момент проекции силы F относительно точки О пересечения оси с плоскостью.

                                                  (1.4)

Правило знаков:

Момент силы относительно оси считается положительным, если,  смотря навстречу оси Z, можно видеть проекцию , стремящейся вращать плоскость I вокруг оси Z в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

Свойства момента силы относительно оси1) Момент силы относительно оси изображается отрезком, отложенным  по оси Zот точки О в положительном направлении, если > 0 и в отрицательном направлении, если < 0. 2) Значение момента силы относительно оси может быть выражено удвоенной площадью Δ      (1.5)3) Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:
  • если F1 = 0, то есть линия действия силы параллельна оси;
  • eсли h1 = 0, то есть линия действия силы пересекают ось.

4. Пара сил. Векторный и алгебраический момент пары сил

Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил  и , называется парой сил.

Плоскость, в которой находятся линии действия сил  и , называется плоскостью действия пары сил.

Кратчайшее расстояние hмежду линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары сил.

Момент пары сил определяется произведением модуля одной из сил пары на плечо.

(1.6)

Правило знаков

Вектор момента М пары  и  направляют перпендикулярно к плоскости действия пары сил в такую сторону, что бы смотря навстречу этому вектору, видеть пару сил стремящейся вращать плоскость ее действия в сторону, обратную вращению часовой стрелки.

  1. 4.     Свойства пар сил на плоскости

Свойство 1. Вектор-момент M  пары  по модулю и направлению равен векторному произведению радиуса вектора АВ на ту из сил этой пары, к началу которой направлен радиус-вектор АВ, то есть 

                                         (1.7)

Если пары сил лежат в одной плоскости

Свойство 2. Главный момент сил, составляющих пару относительно произвольной точки на плоскости действия пары, не зависит от положения этой точки и равняется моменту этой пары сил.

5.     Условия эквивалентности пар сил

Теорема об условии эквивалентности пар сил,

лежащих в одной плоскости.

Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их моменты равны численно и одинаковы по знаку.

 следовательно, их можно исключить из этой системы сил. Тогда получим пару  с плечомNK=CD=h2, эквивалентную паре  с плечомKZ = h1 = AB.Из подобия треугольников

Сравнивая (*) и (**) получим, что  пару сил, не изменяя ее действия на твердое тело можно переносить в любое место плоскости ее действия, поворачивать ее плечо на любой угол, а также изменять это плечо и модули сил, не изменяя величины ее момента и направления вращения.

Следовательно, основной характеристикой пары является ее момент.

Теорема об условии эквивалентности пар сил в пространстве

Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.

Имеем :                   

Из рассмотренных теорем следует:

  • не изменяя действия пары сил на твердое  тело, пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия, а так же изменять ее силы и плечо, сохраняя неизменным модуль и направление ее момента.
  • вектор момента пары сил определяет все три ее элемента: положение плоскости действия пары, направление вращения и численное значение момента.

Таким образом, вектор момента пары сил можно переносить в любую точку пространства, то есть

момент пары сил является свободным вектором

6.    Сложение пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях

Теорема о сложении пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях

Система пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях эквивалентна одной паре с вектором-моментом, равным геометрической сумме векторов –моментов слагаемых пар.

то есть вектор-момент  равнодействующей пары по модулю и направлению изображается диагональю параллелограмма, построенного из векторов-моментов слагаемых пар.

Если на тело действует nпар, лежащих в разных плоскостях, то складывая эти пары в последовательном порядке и применяя каждый раз теорему о сложении двух пар сил, установим, что эта система пар заменится одной равнодействующей парой с вектором-моментом

                           (1.8)

7.     Условия равновесия системы пар сил

    – векторная форма                        (1.9)                                     

     – в проекциях на оси координат  (1.10)

Источник: http://student-com.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/32-7-%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F-%D0%B8-%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8-%D0%BC%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82-%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8B-%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0-%D1%81%D0%B8%D0%BB.html

Момент силы: определения, единица измерения, примеры, относительно оси и точки

Определение момента силы относительно точки

В статье мы расскажем про момент силы относительно точки и оси, определения, рисунки и графики, какая единица измерения момента силы, работа и сила во вращательном движении, а также примеры и задачи.

Момент силы представляет собой вектор физической величины, равный произведению векторов плеча силы (радиус-вектор частицы) и силы, действующей на точку. Силовой рычаг представляет собой вектор, соединяющий точку, через которую проходит ось вращения твердого тела с точкой, к которой приложена сила.

где: r — плечо силы, F — сила приложенная на тело. 

Направление вектора силы момента всегда перпендикулярно плоскости, определяемой векторами r и F.

Главный момент — любая система сил на плоскости относительно принятого полюса называется алгебраическим моментом момента всех сил этой системы относительно этого полюса.

Во вращательных движениях важны не только сами физические величины, но и то, как они расположены относительно оси вращения, то есть их моменты. Мы уже знаем, что во вращательном движении важна не только масса, но и момент инерции. В случае силы, ее эффективность для запуска ускорения определяется способом приложения этой силы к оси вращения.

Взаимосвязь между силой и способом ее применения описывает МОМЕНТ СИЛЫ. Момент силы — это векторное произведение силового плеча R на вектор силы F:

Как в каждом векторном произведении, так и здесь

Следовательно, сила не будет влиять на вращение, когда угол между векторами силы F и рычагом R равен 0o или 180o. Каков эффект применения момента силы М?

Мы используем второй Закон движения Ньютона и связь между канатом и угловой скоростью v = Rω в скалярной форме, действительны, когда векторы R и ω перпендикулярны друг другу

Умножив обе части уравнения на R, получим

Поскольку mR 2 = I, мы заключаем, что

Вышеуказанная зависимость справедлива и для случая материального тела. Обратите внимание, что в то время как внешняя сила дает линейное ускорение a, момент внешней силы дает угловое ускорение ε.

Единица измерения момента силы

Основной мерой измерения момента силы в системной координате СИ является: [M]=Н•м

В СГС: [M]=дин•см

Работа и сила во вращательном движении

Работа в линейном движении определяется общим выражением,

но во вращательном движении,

а следовательно

Исходя из свойств смешанного произведения трех векторов, можно записать

Поэтому мы получили выражение для работы во вращательном движении:

Мощность во вращательном движении:

Момент силы пример и решение задач относительно точки

Найдите момент силы, действующей на тело в ситуациях, показанных на рисунках ниже. Предположим, что r = 1m и F = 2N.

а) поскольку угол между векторами r и F равен 90°, то sin(a)=1: M = r • F = 1м • 2N = 2Н • м 

б) потому что угол между векторами r и F равен 0°, поэтому sin(a)=0: 

M = 0 

да направленная сила не может дать точке вращательное движение

c)    поскольку угол между векторами r и F равен 30°, то sin(a)=0.5: 

M = 0,5 r • F = 1Н • м. 

Таким образом, направленная сила вызовет вращение тела, однако ее эффект будет меньше, чем в случае a).

Момент силы относительно оси

Предположим, что данные являются точкой O (полюс) и мощность P. В точке O мы принимаем начало прямоугольной системы координат. Момент силы Р по отношению к полюсным O представляет собой вектор М из (Р), (рисунок ниже).

Любая точка A на линии P имеет координаты (xo , yo , zo ). 
Вектор силы P имеет координаты Px , Py, Pz. Комбинируя точку A (xo, yo, zo ) с началом системы, мы получаем вектор p.

 Координаты вектора силы P относительно полюса O обозначены символами Mx, My, Mz.

Эти координаты могут быть вычислены как минимумы данного определителя, где ( i, j, k) — единичные векторы на осях координат (варианты): i, j, k

После решения определителя координаты момента будут равны:

Координаты вектора моментов Mo (P) называются моментами силы относительно соответствующей оси. Например, момент силы P относительно оси Oz окружает шаблон:

Mz = Pyxo — Pxyo

Этот паттерн интерпретируется геометрически так, как показано на рисунке ниже. 

На основании этой интерпретации момент силы относительно оси Oz можно определить, как момент проекции силы P на перпендикуляр оси Oz относительно точки проникновения этой плоскости осью.

 Проекция силы P на перпендикуляр оси обозначена Pxy, а точка проникновения плоскости Oxy — осью Oс  символом O.

Из приведенного выше определения момента силы относительно оси следует, что момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось равны, в одной плоскости (когда сила параллельна оси или когда сила пересекает ось). 

Используя формулы на Mx, My, Mz, мы можем рассчитать значение момента силы P относительно точки O и определить углы, содержащиеся между вектором M и осями системы:

Если сила лежит в плоскости Oxy, то zo = 0 и Pz = 0 (см. Рисунок ниже).

Момент силы P по отношению к точке (полюсу) O составляет: 
Mx = 0, 
My = 0, 
Mo (P) = Mz = Pyxo — Pxyo.

Метка крутящего момента: плюс (+) — вращение силы вокруг оси O по часовой стрелке, 

минус (-) — вращение силы вокруг оси O против часовой стрелки.

by HyperComments Оценки статьи: (2 5,00 из 5)
Загрузка…

Источник: https://meanders.ru/moment-sily.shtml

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.