Определение центра тяжести

Способы определения координат центра тяжести

Определение центра тяжести

  • 1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
  • 2. Разбиение. Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади). Пример. Определить центр тяжести пластины, изображенной на помещенном ниже рисунке (рис. 5). Пластину можно разбить на прямоугольники различным способом и определить координаты центра тяжести каждого прямоугольника и их площади.

Ответ: xc=17.0см; yc=18.0см

3. Дополнение.Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.Пример. Определить центр тяжести круглой пластины имеющий вырез радиусом r = 0,6 R (рис. 6).

Круглая пластина имеет центр симметрии. Поместим начало координат в центре пластины. Площадь пластины без выреза

,

площадь выреза

Площадь пластины с вырезом

; .

Пластина с вырезом имеет ось симметрии О1x, следовательно, yc=0.

4. Интегрирование. Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы , для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид:

Далее переходят к пределу, устремляя элементарные объемы к нулю, т.е. стягивая объемы в точки. Суммы заменяют интегралами, распространенными на весь объем тела, тогда формулы определения координат центра тяжести объема принимают вид:

Формулы для определения координат центра тяжести площади:

Координаты центра тяжести площади необходимо определять при изучении равновесия пластинок, при вычислении интеграла Мора в строительной механике. Пример. Определить центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом АОВ = 2б (рис. 7).

Дуга окружности симметрична оси Ох, следовательно, центр тяжести дуги лежит на оси Ох, yс = 0.

Согласно формуле для центра тяжести линии:

5. Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести.

Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела. Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например автомобиля. Затем на весах определяется давление заднего моста автомобиля на опору.

Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, например оси передних колес, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести автомобиля (рис. 8).

Теорема 1. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Теорема 2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

На основе рассмотренных теорем можно определить положения центров тяжести некоторых симметричных линий, фигур и тел:

  • 1) центр тяжести отрезка прямой лежит в его середине;
  • 2) центры тяжести окружности, площади круга, поверхности и объема шара находятся в их геометрических центрах;
  • 3) центры тяжести периметра и площади параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата лежат в точках пересечения их диагоналей;
  • 4) центр тяжести периметра и площади правильного многоугольника находится в центре вписанного (или описанного) круга.

Теорема 3. Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

Теорема 4. Площадь поверхности вращения, полученной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но не пересекающей ее, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

Page 3

Поперечное сечение бруса имеет в системе произвольных взаимно ортогональных осей yz следующие геометрические характеристики:

Статические моменты

Sz = ?F ydF, Sy = ?F zdF

Статические моменты имеют размерность длины в третьей степени, например смі. Они могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Статические моменты можно определить по формулам:

Sz = ycF, Sy = xcF

где yc и xc – координаты центра тяжести сечения. Из предыдущих формул следует, что

xc = Sy / F, yc = Sz / F

Статические моменты относительно любых осей, проходящих через центр тяжести сечения, равны нулю.

Осевые моменты инерции

Jz = ?F yІdF, Jy = ?F zІdF

Если полюс совпадает с началом координатных осей, то выполняется условие

Jp = Jz + Jy

Осевые и полярный моменты инерции сечений всегда положительны.

Центробежный момент инерции

Jzy = ?Fzy dF.

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Если хотя бы одна из осей координат совпадает с осью симметрии сечения, то центробежный момент инерции относительно такой пары осей равен нулю.

Осевые, полярный и центробежный моменты инерции имеют размерность длины в четвертой степени, например см4.

Статические моменты и моменты инерции определяются как интегралы по площади сечения. Следовательно, для одних и тех же осей их можно вычислять раздельно по частям (элементам) сечения, а результаты сложить. Например, для осевых моментов инерции имеем

где i – номер части (элемента) сечения.

Page 4

iz = v(Jz / F) iy = v(Jy / F)

Радиусы инерции не являются интегральными геометрическими характеристиками сечения. Они считаются положительными и имеют размерность длины.

Сумма осевых моментов инерции относительно любой пары ортогональных осей с общим началом является постоянной величиной:

Jzб + Jyб = Jz1 + Jy1 = Jp = const

Ортогональные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно таких осей имеют экстремальные значения и называются главными моментами инерции. Они определяются по формулам

J1,2 = Jmax,min = (Jz+Jy / 2) ± v(((Jz – Jy / 2)І) + JzyІ)

где – zy произвольные оси. Углы наклона главных осей инерции можно определить по формулам:

tgб1,2 = Jzy / (Jy – J1,2)

где – |б1| + |б2| = 90°.

Главные оси можно провести через любую точку сечения или плоскости, где оно расположено. Однако наибольший интерес представляют главные центральные оси инерции, для которых выполняются условия

Sv = Sх = Jхv = 0.

Частным случаем главных осей инерции являются оси, из которых хотя бы одна совпадает с осью симметрии сечения.

Задача определения моментов инерции при повороте осей может быть решена графически с помощью круга инерции, который строится аналогично кругу Мора для плоского напряженного состояния.

Приведем значения моментов инерции простых сечений

Page 5

Перейти к загрузке файла
В данной работе были рассмотрены теоремы, способы определения центра тяжести тел, координаты центра тяжести однородных и неоднородных тел , геометрические характеристики плоских сечений. Такие понятия относятся к таким дисциплинам, как теоретическая механика и сопротивление материалов.

  • 1. Александров, А.В. Сопротивление материалов : учеб. для вузов / А.В. Александров, В.Д. Потапов, В.П. Державин. – 4-е изд. – М. : Высш. шк., 2009. – 560 с.
  • 2. Дарков, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. – М. : Высш. шк., 1989. – 624 с.
  • 3. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. – М. : Наука, 1967. – 552 с.
  • 4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики
  • 5. http://teormech.ru/index.php/lections/lection/7

  Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter

Источник: https://studwood.ru/2024368/matematika_himiya_fizika/sposoby_opredeleniya_koordinat_tsentra_tyazhesti

Техническая механика

Определение центра тяжести


Наиболее часто для нахождения центра тяжести тела или фигуры применяют следующие методы:

  • метод симметрии;
  • метод разбиения;
  • метод отрицательных масс.

Рассмотрим приемы, применяемые в каждом из перечисленных методов.

***

Метод симметрии

Представим себе однородное тело, которое имеет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси x и z лежали в плоскости симметрии (см. рисунок 1).

В этом случае каждой элементарной частице силой тяжести Gi с абсциссой yi = +a соответствует такая же элементарная частица с абсциссой yi = -a, тогда:

yC = Σ(Gixi)/ΣGi = 0.

Отсюда вывод: если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Аналогично можно доказать и следующие положения:

  • Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;
  • Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела находится в точке их пересечения;
  • Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

***

Метод разбиения

Этот метод заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют приведенные ранее формулы для определения общего центра тяжести тела.

Допустим, что мы разбили тело силой тяжести G на три части G', G'', G''', абсциссы центров тяжести этих частей x'C, x''C, x'''C известны.
Формула для определения абсциссы центра тяжести всего тела:

xC = Σ(Gixi)/ΣGi.

Перепишем ее в следующем виде:

xCΣGi = Σ(Gixi)     или     GxC = Σ(Gixi).

Последнее равенство запишем для каждой из трех частей тела отдельно:

G'x'C = Σ(G'x'i),     G''x''C = Σ(G''ix''i),     G'''x'''C = Σ(G'''ix'''i).

Сложив левые и правые части этих трех равенств, получим:

G'x'C + G''x''C + G'''x'''C = Σ(G'ix'i) + Σ(G''x''i) + Σ(G'''ix'''i) = Σ(Gixi).

Но правая часть последнего равенства представляет собой произведение GxC, так как

GxC = Σ(Gixi),

Следовательно, xC = (G'x'C + G''x''C + G'''x'''C)/G, что и требовалось доказать.
Аналогично определяются координаты центра тяжести на координатных осях y и z:

yC = (G'y'C + G''y''C + G'''y'''C)/G,
zC = (G'z'C + G''z''C + G'''z'''C)/G.

Полученные формулы аналогичны формулам для определения координат цента тяжести, выведенные выше. Поэтому в исходные формулы можно подставлять не силы тяжести элементарных частиц Gi, а силы тяжести конечных частей; под координатами xi, yi, zi понимают координаты центров тяжести частей, на которые разбито тело.

***

Метод отрицательных масс

Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей – отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.

Таким образом, при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу полостей отрицательной.

***

Практические методы определения центра тяжести тел

На практике для определения центра тяжести плоских тел сложной формы часто применяют метод подвешивания, который заключается в том, что плоское тело подвешивают на нити за какую-нибудь точку.

Прочерчивают вдоль нити линию, и тело подвешивают за другую точку, не находящуюся на полученной линии. Затем вновь проводят линию вдоль нити.

Точка пересечения двух линий и будет являться центром тяжести плоского тела.

Еще один способ определения центра тяжести, применяемый на практике, называется метод взвешивания. Этот метод часто применяется для определения центра тяжести крупных машин и изделий – автомобилей, самолетов, колесных тракторов и т. п., которые имеют сложную объемную форму и точечную опору на грунт.

Метод заключается в применении условий равновесия, исходя из того, что сумма моментов всех сил, действующих на неподвижное тело равна нулю.

Практически это осуществляется взвешиванием одной из опор машины (задние или передние колеса устанавливаются на весы), при этом показания весов, по сути, являются реакцией опоры, которая учитывается при составлении уравнения равновесия относительно второй точки опоры (находящейся вне весов).

По известной массе (соответственно – весу) тела, показанию весов в одной из точек опоры, и расстоянию между точками опоры можно определить расстояние от одной из точек опоры до плоскости, в которой расположен центр тяжести.

Чтобы найти подобным образом линию (ось), на которой расположен центр тяжести машины, необходимо произвести два взвешивания по принципу, изложенному выше для метода подвешивания (см. рис. 1а).

***



Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии, то центр тяжести его площади находится в точке пересечения этих осей, иначе говоря, в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник. Пусть дан треугольник АBD (см. рисунок 2).
Разобьем его на элементарные (бесконечно узкие) полоски, параллельные стороне AD. Центр тяжести каждой полоски будет лежать на медиане Bd (т. е.

в середине каждой полоски), следовательно, на этой медиане будет лежать и центр тяжести всей площади треугольника. Разбив треугольник на элементарные полоски, параллельные стороне AB, увидим, что искомый центр тяжести лежит и на медиане aD.

Проделав аналогичное действие с треугольником относительно стороны ВD, получим тот же результат – центр тяжести находится на соответствующей медиане.

Следовательно, центр тяжести всей площади треугольника лежит на точке пересечения его медиан, поскольку эта точка является единственной общей точкой для всех трех медиан данной геометрической фигуры.

Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в соотношении 1:2 от основания. Следовательно, центр тяжести треугольника расположен на расстоянии одной трети высоты от каждого основания.

Дуга окружности. Возьмем дугу окружности АВ радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3). Систему координат выберем так, чтобы начало координат было в центре окружности, а ось x делила дугу пополам, тогда yC = 0 вследствие симметрии дуги относительно оси x. Определим координату центра тяжести xC.

Разобьем дугу АВ на элементарные части li, одна из которых изображена на рисунке. Тогда, согласно сделанным выше выводам,

xC =Σ(lixCi)/Σli.

Дугу li вследствие малости примем за отрезок прямой. Из подобия треугольника ODiCi и элементарного треугольника S (на рисунке заштрихован) получим:

Li/Δyi = R/xCi     или     lixi = RΔyi.

Тогда:

xC =Σ(lixCi)/Σli = Σ(RΔyi)/l = RΣΔyi/l = R×AB/l,

поскольку RΣΔyi = AB, а Σli = l – длина дуги АВ. Но АВ = 2R sinα, а l = 2Rα, следовательно,

xC = (R sinα)/α.

При α = π/2 рад (полуокружность), xC = 2R/π.

Круговой сектор. Возьмем сектор радиусом R с центральным углом 2α (см. рисунок 3а). Проведем оси координат, как показано на рисунке (ось x направлена вдоль оси симметрии сектора), тогда yC = 0.

Определим xC, для чего разобьем сектор на ряд элементарных секторов, каждый из которых из-за малости дуги li можно принять за равнобедренный треугольник с высотой R. Тогда центр тяжести каждого элементарного сектора будет находиться на дуге радиуса 2R/3 и задача определения центра тяжести сектора сводится к определению центра тяжести этой дуги.
Очевидно, что

xC = 2 R sinα/(3α).

При α = π/2 рад (полукруг): xC = 4R/(3π).

***

Пример решения задачи на определение центра тяжести

Задача:
Определить положение центра тяжести сечения, составленного из двутавра № 22 и швеллера № 20, как показано на рисунке 4.

Решение.
Из курса инженерной графики известно, что номер проката соответствует наибольшему габаритному размеру его сечения, выраженного в сантиметрах.

Так как сечение, составленное из двутавра и швеллера, представляет собой фигуру, симметричную относительно оси y, то центр тяжести такого сечения лежит на этой оси, т. е. xC = 0.
По справочнику определим площади и координаты центров тяжести двутавра 1 и швеллера 2.

Для двутаврового сечения:  А1 = 15,2 см2;     y1 = 22/2 = 11 см.
Для швеллерного сечения:  А2 = 12 см2;     y2 = 22 + d – z0 = 22 + 0,32 – 1,25 = 21,07 см,
где d – толщина стенки швеллера; z0 – размер, определяющий положение центра тяжести швеллера.

Применим формулу для определения координаты центра тяжести всего сечения:

yC = Σ(Aiyi)/ΣAi,

тогда:

yC = (A1y1 +A2y2)/(A1 +A2) = (15,2×11 + 12×21,07)/(15,2 + 12) = 15,4 см.

Задача решена.

***

Кинематика точки



Олимпиады и тесты

Источник: http://k-a-t.ru/tex_mex/11-statika_center_tj2/

Центр тяжести тела

Определение центра тяжести

Как известно, сила тяжести тела равна векторной сумме сил тяжести, которые действуют на все материальные точки, на которые можно разбить рассматриваемое тело. Точку, к которой приложена результирующая сила тяжести, называют центром тяжести. Если известно положение центра тяжести, то можно считать, что на тело действует только одна сила тяжести, приложенная к центру тяжести.

Следует учитывать, что силы тяжести, действующие на отдельные элементы тела, направлены к центру Земли и не являются строго параллельными. Но так как размеры большинства тел на Земле много меньше ее радиуса, поэтому эти силы считают параллельными.

Определение центра тяжести тела

Определение

Центром тяжести называют точку, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на материальные точки, на которые разбито рассматриваемое тело, при любом положении тела в пространстве.

Центр тяжести – это точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести равен нулю при любом положении тела.

От положения центра тяжести зависит устойчивость всех конструкций.

Как найти центр тяжести?

Для нахождения центра тяжести тела сложной формы необходимо мысленно разбить тело на части простой формы и определить место нахождения центров тяжести для них. У тел простой формы центр тяжести определяют, используя их симметрию.

Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии.

Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.

Определив, где расположены центры тяжести отдельных частей тела, переходят к поиску места расположения центра тяжести тела в целом. Тело представляют в виде системы материальных точек. При этом каждая точка имеет массу своей части тела и располагается в ее центре тяжести.

Координаты центра тяжести тела

В трехмерном пространстве координаты центра тяжести для твердого тела нахояд как:

\[\left\{ \begin{array}{c}x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m};; \\ y_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iy_i}}{m};; \\ z_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iz_i}}{m} \end{array}\right.\left(1\right),\]

где $m$ – масса тела.$;;x_i$ – координата на оси X элементарной массы $\Delta m_i$; $y_i$ – координата на оси Y элементарной массы $\Delta m_i$; ; $z_i$ – координата на оси Z элементарной массы $\Delta m_i$.

В векторной форме записи система уравнений (1) представляется как:

\[{\overline{r}}_c=\frac{1}{m}\sum\limits_i{m_i{\overline{r}}_i\left(2\right),}\]

${\overline{r}}_c$ – радиус – вектор, определяющий положение центра тяжести; ${\overline{r}}_i$ – радиус-векторы, которые определяют положения элементарных масс.

Центр тяжести, центр масс и центр инерции тела

Считают, что центр тяжести тела совпадают с центром масс тела, если его размеры малы в сравнении с расстоянием до центра Земли. При этом формулы, которые определяют положение цента тяжести и центра масс тела совпадают с выражениями (1) и (2). В основной массе задач центр тяжести принимают совпадающим с центром масс тела.

Сила инерции в неинерциальных системах отсчета, движущихся поступательно, приложена к центру тяжести тела.

Но центробежная сила инерции (в общем случае) не приложена к центру тяжести, поскольку в неинерциальной системе отсчета на элементы тела действуют разные центробежные силы инерции (даже если массы элементов равны), так как расстояния до оси вращения разные.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание: Каковы координаты центра тяжести системы из трех точечных масс, расположенных в вершинах и одной в центре равностороннего треугольника, со стороной равной $a\ (м)$ (рис.1)?

Решение: Определение для координат $x_c\ и\ y_c$ центра тяжести в нашем случае запишем в виде:

\[x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(1.1);;\] \[y_c=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(1.2).\]

Из рис.1 мы видим, что соответствующие абсциссы точек равны:

\[\left\{ \begin{array}{c}m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \ \\ {\rm \ }m_2=3m,\ \ \ \ x_2=\frac{a}{2};; \\ m_3=m,\ \ x_3=\frac{a}{2};; \\ m_4=4m,\ \ x_4=a. \end{array}\right.\left(1.3\right).\]

Тогда абсцисса центра тяжести получается равной:

\[x_c=\frac{2m\cdot 0+3m\cdot \frac{a}{2}+m\cdot \frac{a}{2}+4m\cdot a}{2m+3m+m+4m}=\frac{6ma}{10m}=0,6a\ (м);\]

Найдем ординаты точек.

\[ \begin{array}{c}m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \ \\ {\rm \ }m_2=3m,\ \ \ \ y_2=\frac{a\sqrt{3}}{2};; \\ m_3=m,\ \ y_3=\frac{a\sqrt{3}}{6};; \\ m_4=4m,\ \ y_4=0. \end{array}\left(1.4\right).\]

Для того чтобы найти ординату $y_2$ найдем, высоту в равностороннем треугольнике:

\[h=\sqrt{a2-\frac{a2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}=y_2\left(1.5\right).\]

Ординату $y_3$ найдем, учитывая, что медианы в равностороннем треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины, имеем:

\[y_3=h\cdot \frac{1}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\ \left(1.6\right).\]

Вычислим ординату центра тяжести:

\[y_c=\frac{2m\cdot 0+3m\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}+m\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}+4m\cdot 0}{2m+3m+m+4m}=\frac{10m\frac{a\sqrt{3}}{6}}{10m}=\frac{a\sqrt{3}\ }{6}(м).\]

Ответ: $x_c=0,6a\ {\rm \ }{\rm м}$; $y_c=\frac{a\sqrt{3}\ }{6}$ м

    Пример 2

Задание: Каковы координаты центра тяжести системы из четырех элементарных масс, расположенных в вершинах куба со стороной равной $a$ (рис.2)?

Решение: Координату $x_c$ центра тяжести найдем как:

\[x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{m\cdot a+2m\cdot 0+3m\cdot 0+4m\cdot 0}{m+2m+3m+4m}=\frac{am}{10m}=0,1\ a\left(м\right).\]

Ординату центра тяжести вычислим как:

\[y_c=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{m\cdot 0+2m\cdot 0+3m\cdot a+4m\cdot 0}{m+2m+3m+4m}=\frac{a\cdot 3m}{10m}=0,3a\ \left(м\right).\]

Для координаты $z_c$ получаем:

\[z_c=\frac{m_1z_1+m_2z_2+m_3z_3+m_4z_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{m\cdot 0+2m\cdot a+3m\cdot 0+4m\cdot 0}{m+2m+3m+4m}=\frac{a\cdot 2m}{10m}=0,2a\ \left(м\right).\]

Ответ: ($x_{c,\ }y_c,\ z_c$)=($\ 0,1\ a$, $0,3a$, $0,2a$)(м)

   

Читать дальше: циклическая частота колебаний.

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_98_centr_tjazhesti_tela.php

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.