Область определения сложной функции

Содержание

Как найти область определения функции

Область определения сложной функции

На уроке о понятии функции мы узнали, что существует X – множество, на котором формула, которой задана функция, имеет смысл.

В математическом анализе это множество часто обозначают как D (область определения функции).

В свою очередь множество Y обозначают как E (область значений функции) и при этом D и E называют подмножествами R (множества действительных чисел).

Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью её определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл, то есть наибольшее множество значений аргумента, которое приводит к действительным значениям функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором “функция работает”.

Для общего понимания пример пока без формулы. Функция задана в виде пар отношений:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)}.

Найти область определения это функции.

Ответ. Первый элемент пар – это переменная x. Так как в задании функции даны и вторые элементы пар – значения переменной y, то функции имеет смысл только для тех значений икса, которым соответствует определённое значения игрека. То есть берём все иксы данных пар в порядке возрастания и получаем из них область определения функции:

{2, 4, 5, 6, 7}.

Та же логика работает, если функция задана формулой. Только вторые элементы в парах (то есть значения игрека) получаем, подставляя в формулу те или иные значения икса. Однако, чтобы найти область определения функции, нам не нужно перебирать все пары иксов и игреков.

Пример 0. Как найти область определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять) ()? Нужно всего лишь решить неравенство

x – 5 ≥ 0,

так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции – все значения икса больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).

На чертеже сверху – фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции заштрихована, при этом в “плюсовом” направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.

Далее на этом уроке разберём в теории и на примерах нахождение области определения всех часто встречающихся в математике функций. Но прежде – кое-какие аналогии из мира компьютеров и их пользователей.

Если вы пользуетесь компьютерными программами, которые на основании введённых данных выдают какой-то ответ, то можете заметить, что при некоторых значениях введённых данных программа выдаёт сообщение об ошибке, то есть о том, что при таких данных ответ не может быть вычислен.

Такое сообщение предусмотрено авторами программы, если выражение для вычисления ответа достаточно сложно или касается какой-то узкой предметной области, или же предусмотрено авторами языка программирования, если дело касается общепринятых норм, например, что нельзя делить на нуль.

Но и в том и в другом случае ответ (значение некоторого выражения) не может быть вычислен по той причине, что выражение при некоторых значениях данных не имеет смысла.

Пример (пока не совсем математический): если программа выдаёт название месяца по номеру месяца в году, то, введя “15”, вы получите сообщение об ошибке.

Чаще всего вычисляемое выражение как раз и представляет собой функцию. Поэтому такие недопустимые значения данных не входят в область определения функции.

И в вычислениях от руки так же важно представлять область определения функции. Например, вы вычисляете некоторый параметр некоторого изделия по формуле, представляющей собой функцию.

При некоторых значениях аргумента на входе вы на выходе не получите ничего.

Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[.

Пример 1. Найти область определения функции y = 2.

Решение.

Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f(x) = 2 определено при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.

В случае, когда функция задана формулой и n – натуральное число:

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение.

Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, если – 1 ≤ x ≤ 1. Следовательно, область определения данной функции – [- 1; 1].

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху – это область определения данной функции.

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a – положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[;

если a – отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[, то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение.

Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы – так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции – вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если – положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[;

если – отрицательное, то областью определения функции является множество ]0; + ∞[.

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение.

Оба слагаемых в выражении функции – степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции – множество [0; + ∞[.

На чертеже сверху заштрихована часть числовой прямой от нуля (включительно) и больше, причём штриховка продолжается вместе с самой прямой до плюс бесконечности.

Пример 5. Найти область определения функции .

Решение.

Дробный показатель степени данной степенной функции – отрицательный. Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля::

.

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях “икса” не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции – вся числовая ось, или, что то же самое – множество R действительных чисел, или, что то же самое – ]- ∞; + ∞[.

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Область определения тригонометрических функций

Область определения функции y = sin(x) – множество Rдействительных чисел.

Область определения функции y = cos(x) – так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) – множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x) – множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 8. Найти область определения функции .

Решение.

Внешняя функция – десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным.

Аргумент здесь – синус “икса”.

Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при “иксе” равным нулю, “пи”, два, умноженном на “пи” и вообще равным произведению числа “пи” и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k – целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) – множество [-1; 1].

Область определения функции y = arccos(x) – так же множество [-1; 1].

Область определения функции y = arctg(x) – множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) – так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение.

Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции – отрезок [- 4; 4].

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение.

Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции – отрезок [0; 1].

Область определения дроби

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение.

Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции – множество ]- ∞; – 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение.

Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции – ]- ∞; – 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 13. Найти область определения функции .

Решение.
Область определения первого слагаемого – данной функции – множество R действительных чисел, второго слагаемого – все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции – все x, кроме -2 и 2.

Пример 14. Найти область определения функции .

Решение.

Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции – вся числовая прямая или, что то же самое – множество R действительных чисел или, что то же самое – ]- ∞; + ∞[.

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо “икса”, знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 15. Найти область определения функции .

Решение.

Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции – ]- ∞; – 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 16. Найти область определения функции .

Решение.

Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2].

Область определения линейной функции

Если функция задана формулой вида y = kx + b, то область определения функции – множество R действительных чисел.

Пройти тест по теме Предел

Весь раздел “Исследование функций”

Источник: https://function-x.ru/function_definition_area.html

Как найти область определения функции?

Область определения сложной функции

Синонимы: область допустимых значений или сокращенно ОДЗ. Первое, с чем Вы сталкиваетесь при изучении различных функций или же при построении графиков – это область определения функции.

Областью определения называется множество значений, которые может принимать x. Обозначение  D(f)

Как же это правило применить к заданной Вам функции?

В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные “сложные” функции – это всего лишь их сочетания и комбинации.

3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) – ограничение на аргумент

Для тангенса:

на графике тангенса

Для котангенса: 

на графике котангенса

4. Обратные тригонометрические функции. 

Арксинус  АрккосинусАрктангенс, Арккотангенс

Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени:

y = 2x + 3 –  уравнение задает прямую на плоскости.

Посмотрим внимательно на функцию и подумаем, какие же числовые значения мы сможем подставить в уравнение вместо переменной х?

Попробуем подставить значение х=0

Так как  y = 2·0 + 3 = 3 – получили числовое значение, следовательно функция существует при взятом значении переменной х=0.

Попробуем подставить значение х=10 

так как  y = 2·10 + 3 = 23 –  функция существует при взятом значении переменной х=10 .

Попробуем подставить значение х=-10

так как  y = 2·(-10) + 3 = -17 – функция существует при взятом значении переменной х=-10 . 

Уравнение задает прямую линию на плоcкости, а прямая не имеет ни начала ни конца, следовательно она существует для любых значений х.

Заметим, что какие бы числовые значения мы не подставляли в заданную функцию вместо х, всегда получим числовое значение переменной y.

Следовательно, функция существует для любого значения x ∈ R  или запишем так: D(f) = R 

Формы записи ответа:  D(f)=R  или  D(f)=(-∞:+∞)или x∈R  или x∈(-∞:+∞)

Сделаем вывод:

Для любой функции вида y = ax + b областью определения является множество действительных чисел.

 

Пример нахождения области определения функции №2

Задана функция вида:  

y = 10/(x + 5) –  уравнение гиперболы

Имея дело с дробной функцией, вспомним, что на ноль делить нельзя. Следовательно функция будет существовать для всех значений х, которые не

обращают знаменатель в ноль. Попробуем подставить какие-либо произвольные значения х.

При х = 0 имеем  y = 10/(0 + 5) = 2 – функция существует.

При х = 10 имеем  y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3 – функция существует.

При х = -5 имеем  y = 10/(-5 + 5) = 10/0  –  функция в этой точке не существует. 

Т.е. если заданная функция дробная, то необходимо знаменатель приравнять нулю и найти такую точку, в которой функция не существует. 

В нашем случае:

x + 5 = 0 → x = -5 – в этой точке заданная функция не существует.

или

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5 

Для наглядности изобразим графически:

На графике также видим, что  гипербола максимально близко приближается к прямой х = -5, но самого значения -5 не достигает. 

Видим, что заданная функция существует во всех точках действительной оси, кроме точки  x = -5

Формы записи ответа:  D(f)=R\{-5}  или  D(f)=(-∞;-5)∪ (-5;+∞)  или  x∈R\{-5}  или  x∈(-∞;-5)∪(-5;+∞) 

Вывод:

Если заданная функция дробная, то наличие знаменателя накладывает условие неравенства нулю знаменателя. 

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:

 

Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем – неотрицательна.

2х – 8 ≥ 0  

Решим простое неравенство:  

2х – 8 ≥ 0  →  2х ≥ 8  →  х ≥ 4

Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4 или D(f)=[4;+∞)  или  x∈[4;+∞).

На графике видим, что функция существует для найденных значений х : х ≥ 4  или  D(f)=[4;+∞)  или  x∈[4;+∞).

При попытке подставить вместо х значения, отличные от найденных, под корнем получим отрицательное число, те в этих точках функция не существует. 

Вывод:

Если заданная функция содержит квадратный корень (или корень любой четной степени), то обязательно накладывается условие неотрицательности (≥0) на подкоренное выражение.

Если квадратный корень находится в знаменателе функции, у которой мы находим область определения, то на подкоренное выражение накладывается условие положительности (>0), так как знаменатель всегда должен быть отличен от нуля. 

Источник: http://matecos.ru/mat/matematika/kak-opredelit-oblast-opredeleniya-grafika-funktsii-5.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.