Мгновенная скорость определение

Мгновенная скорость

Мгновенная скорость определение

Если тело перемещается неравномерно, то описывая его движение в качестве одного из параметров можно воспользоваться средней скоростью движения на отдельных отрезках пути. Но такое описание дает очень приближенную, грубую характеристику перемещения.

Поскольку находя средние скорости, мы проводим замену неравномерного движения на движение с постоянной скоростью на избранных отрезках пути, думая, что скорость изменяется скачкообразно при переходе от одного отрезка времени к другому.

Графиком пути, отражающем перемещение тела, с постоянной скоростью, отличающейся на разных временных отрезках, станет ломаная линия, имеющая звенья с различным наклоном.

Допустим, что материальная точка перемещается вдоль прямой линии, которая не совпадает с осями координат. При этом ее положение определяет радиус- вектор $\vec r_1$, соответствующий моменту времени $t_1$. В момент времени $t_2$ положение материальной точки в пространстве определяет вектор $\vec r_2$.

Вектор перемещения нашей материальной точки определим как:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

$\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1(1).$

Определение 1

Средняя скорость материальной точки будет определена выражением:

$ \vec v_{sr}=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{\vec r_2-\vec r_1}{t_2-t_1}(2).$

Из формулы (2) видно, что в ней происходит деление вектора на скаляр, в результате мы имеем вектор, направление которого совпадает с направлением вектора перемещения.

Векторы скорости и перемещения обладают одинаковыми направлениями.

Переход от средней скорости к мгновенной скорости

В выражении (2) средняя скорость найдена для отрезка времени, равного $\Delta t$. Разделим данный временной отрезок на более мелкие.

Если материальная точка перемещается неравномерно, то вновь найденные средние скорости будут отличаться, от средней скорости для всего отрезка $\Delta t$. Уменьшим временной отрезок $\Delta t$, станут меньше и отрезки времени внутри него.

Средние скорости в уменьшенных промежутках времени будут отличаться от средней скорости на всем отрезке времени, но величина различия станет меньше.

Устремим рассматриваемый промежуток времени к нулю (∆t→0), средняя скорость при этом устремится к предельному значению, которое называют мгновенной скоростью.

Определение 2

Мгновенной скоростью или скоростью в данный момент времени называют векторную величину, равную:

$\vec v(t)= \frac {d\vec r}{dt}(3).$

Если тело перемещается равномерно, то мгновенная скорость его движения в каждый момент времени совпадает со скоростью этого движения. Говорят, что мгновенная скорость равномерного движения является постоянной.

Мгновенная скорость неравномерного перемещения – это переменный параметр, который принимает разные значения для разных моментов времени. При этом мгновенную скорость можно считать изменяющейся непрерывно на всем отрезке времени, на котором рассматривается движение.

Мгновенную скорость в каждый момент времени можно определить как тангенс угла наклона касательной к кривой – траектории движения в рассматриваемой точке.

Компоненты вектора мгновенной скорости в декартовой системе координат

В декартовой системе координат радиус-вектор запишем как:

$\vec r(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k (4)$,

принимая во внимание, что единичные орты ($\vec i ; \vec j; \vec k$) не изменяются во времени, и используя определение мгновенной скорости (3), получаем:

$\vec v(t)=\frac{dx}{dt}\vec i+\frac{dy}{dt}\vec j+\frac{dz}{dt}\vec k (5).$

Из формулы (5) мы видим, что составляющие вектора скорости в декартовой системе координат задаются выражениями:

$ v_x=\frac{dx}{dt} (6),$

$ v_y=\frac{dy}{dt} (7),$

$ v_z=\frac{dz}{dt} (8).$

При этом величину мгновенной скорости можно найти как:

$ v2=v_x2+v_y2+v_z2 (9).$

Направление мгновенной скорости

Будем описывать движение материальной точки через параметры траектории. При этом нам известны траектория движения точки и связь пути ($s$) и времени $t$.

Путь отмеряется по траектории, от точки траектории, которую мы принимаем за начальную. При этом любая точка траектории характеризуется собственной величиной $s$.

Из сказанного выше следует, что радиус-вектор – это функция от $s$, траекторию зададим уравнением:

$\vec r = \vec r(s)(10)$.

Получаем, что в определении мгновенной скорости (3) мы можем считать радиус – вектор как сложную функцию ($\vec r(s(t))$). При этом ее производную найдем, применяя правило дифференцирования сложной функции:

$\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=\frac{d\vec r}{ds}\frac{ds}{dt}(11)$,

где по определению мгновенной скорости ее величина равна: $v=\frac{ds}{dt}$.

Обозначим $\Delta s$ – расстояние между парой точек по траектории; $|\Delta \vec r|$– расстояние между рассматриваемыми точками по кратчайшему расстоянию (прямой). При сближении наших точек разница между $\Delta s$ и $|\Delta \vec r|$ уменьшается, запишем:

$\frac{d\vec r}{ds}=\lim_{\Delta s\to 0} (\frac {\Delta \vec r}{\Delta s})=\lim_{\Delta s\to 0}(\frac{\Delta \vec r}{|\Delta r|}\frac {|\Delta r|}{\Delta s})=\vec \tau (12).$

где $\vec \tau$ – единичный вектор, являющийся касательным к траектории движения точки.

Принимая во внимание сказанное выше выражение (12) для мгновенной скорости можно записать как:

$\vec v=v\vec \tau$(13).

Из формулы (13) становится очевидно, что мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения материальной точки.

Рассматривая направления мгновенной скорости движения материальной точки подчеркнем, что:

  1. Мгновенная скорость материальной точки перемещающейся по прямой – это вектор, который направлен по траектории ее движения.
  2. При перемещении материальной точки по криволинейной траектории вектор мгновенной скорости имеет направление по касательной к траектории движения точки.

Скорость при равнопеременном движении

Самым простым способом неравномерного движения является равнопеременное перемещение тела, движение с постоянным ускорением. Это движение бывает:

  • равноускоренным, если скорость и ускорение имеют одинаковые направления, при этом величина скорости увеличивается;
  • равнозамедленное, при противоположном направлении скорости и ускорения, в этом случае скорость по модулю уменьшается.

При равнопеременном движении скорость в любой момент времени можно вычислить, если использовать выражение:

$\vec v(t)=\vec v_0+\vec a \bullet t (14),$

где $\vec v_0$ – начальная скорость движения точки; $\vec a$ – постоянное ускорения точки.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/mgnovennaya_skorost/

Мгновенная скорость равномерного движения материальной точки

Средняя скорость равномерно движущейся точки величина постоянная, значит, мгновенная скорость равномерно перемещающейся точки является неизменной величиной.

Скорость равномерного движения численно равна тангенсу угла наклона прямой к оси времени (рис.1):

\[v=k\ tg\ \alpha \ \left(4\right),\]

где $k$ – безразмерный коэффициент, определяющий отношение масштаба единиц перемещения (ось ординат) и единиц времени (ось абсцисс).

При графическом изображении переменного движения материальной точки мгновенная скорость численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику и осью абсцисс.

Мгновенная скорость при криволинейном движении

Положение материальной точки на траектории зададим радиус-вектором $\overline{r}(t)$, который проведем в точку наблюдения из какой-либо неподвижной точки, которую примем за начало координат. Тогда мгновенной скоростью материальной точки будет векторная величина, равная:

\[\overline{v}=\frac{d\overline{r}}{dt}=\dot{\overline{r}}\left(5\right).\]

скорость – это вектор, направленный по касательной к траектории движения материальной точки в месте нахождения частицы.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Две материальные точки движутся согласно уравнениям:

\[\left\{ \begin{array}{c}x_1=-3t+4t2-t3(м) \\x_2=t-2t2-t3(м) \end{array}\right.\left(1.1\right),\]

в какой момент времени скорости этих точек будут равны?

       

Решение. В задаче речь идет о нахождении времени, когда будут равны мгновенные скорости материальных точек. Величину мгновенной скорости будем находить как:

\[v=\frac{dx}{dt}\left(1.2\right).\]

Тогда подставляя по очереди уравнения из системы (1.1) получим:

\[\left\{ \begin{array}{c}v_1=\frac{dx_1}{dt}=-3+8t-3t2 \\v_2=\frac{dx_2}{dt}=1-4t-3t2 \end{array}\right.\left(1.3\right).\]

Приравняем правые части уравнений в системе (1.3), найдем момент времени в который скорости равны ($v_1=v_2$):

\[-3+8t-3t2=1-4t-3t2\to 8t+4t=1+3\to 12t=4\to t=\frac{1}{3}\left(c\right).\]

Ответ. $t=\frac{1}{3}$ с

    Пример 2

Задание. Материальная точка движется на плоскости XOY. Закон изменения координаты $x$ задан графиком рис.2 . Координата $y\ $задана аналитическим выражением: $y=At(1+Bt)$, где $A$ и $B$ постоянные величины. Запишите выражение, связывающее мгновенную скорость и время ($v(t)$).

       

Решение. Из рис. 2 мы можем записать уравнение, которое определяет изменение координаты $x$ от времени:

\[x\left(t\right)=At\ \left(2.1\right).\]

Получили, что движение материальной точки в плоскости XOY описывают при помощи системы уравнений:

\[\left\{ \begin{array}{c}x\left(t\right)=At;;\ \\y=At\left(1+Bt\right) \end{array}\left(2.2\right).\right.\]

Найдем составляющие скорости движения материальной точки:

\[v_x=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(At\right)=A;;\] \[v_y=\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\left(At\left(1+Bt\right)\right)=A+2ABt.\]

Модуль скорости найдем как:

\[v=\sqrt{v2_x+v2_y}=\sqrt{A2+{(A+2ABt)}2}=\sqrt{A2+A2+2A2Bt+4A2B2t2}=\] \[=A\sqrt{2+2Bt+4B2t2.}\]

Ответ. $v=A\sqrt{2+2Bt+4B2t2}$

   

Читать дальше: механические волны.

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_49_mgnovennaja_skorost.php

Слободянюк А.И. Физика 10/2.2

Мгновенная скорость определение

книги

Предыдующая страница

2.2 Средняя и мгновенная скорость при движении точки по прямой

Как мы уже отмечали, равномерное движение является простейшей моделью механического движения. Если такая модель неприменима, то необходимо использовать более сложные модели. Для их построение нам необходимо рассмотреть понятие скорости в случае неравномерного движения.

Пусть за интервал времени от t0 до t1 координата точки изменилась от x0 до x1. Если мы вычислим скорость по прежнему правилу

\(~\upsilon_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_1 – x_0}{t_1 – t_0} \) , (1)

то получим величину (она называется средней скоростью), которая описывает быстроту движения «в среднем» – вполне возможно, что за первую половину времени движения точка сместилась на большее расстояние, чем за вторую.

Средней скоростью называется физическая величина равная отношению изменения координаты точки к интервалу времени, в течение которого это изменение произошло.

Геометрический смысл средней скорости – коэффициент наклона секущей AB графика закона движения.

Для более детального, более точного описания движения, можно задать два значения средней скорости – за первую половину времени движения υср1, за вторую половину – υср2 .

Если и такая точность нас не устраивает – то необходимо дробить временные интервалы дальше – на четыре, восемь и т.д. частей. При этом необходимо задавать соответственно четыре, восемь и т.д. значений средних скоростей. Согласитесь, такое описание становится громоздким и неудобным.

Выход из этой ситуации давно найден – он заключается в том, что бы рассматривать скорость как функцию времени.

Давайте посмотрим, как будет меняться средняя скорость при уменьшении промежутка времени, за который мы эту скорость вычисляем. На рис.6 показан график зависимости координаты материальной точки от времени. Будем вычислять среднюю скорость за интервал времени от t0 до t1, последовательно приближая значение t1 к t0.

При этом семейство секущих A0A1, A0A1’, A0A1’’ (рис.6), будет стремиться к некоторому предельному положению прямой A0B, которая является касательной к графику закона движения. Мы приводим два различных случая, чтобы показать, что мгновенная скорость может быть как больше, так и меньше средней скорости.

Эту процедуру можно описать и алгебраически, последовательно вычисляя отношения \(~\upsilon_{cp} = \frac{x_1 – x_0}{t_1 – t_0}\) , \(~\upsilon'_{cp} = \frac{x'_1 – x_0}{t'_1 – t_0}\) , \(~\upsilon''_{cp} = \frac{x''_1 – x_0}{t''_1 – t_0}\) . При этом оказывается, что эти величины приближаются к некоторому вполне определенному значению.

Это предельное значение получило название мгновенной скорости.

Мгновенной скоростью называется отношение изменения координаты точки к интервалу времени, за которое это изменение произошло, при интервале времени, стремящемся к нулю [1]:

\(~\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) , при Δt → 0 . (2)

Геометрический смысл мгновенной скорости – коэффициент наклона касательной к графику закона движения.

Таким образом, мы «привязали» значение мгновенной скорости к конкретному моменту времени – задали значение скорости в данный момент времени, в данной точке пространства. Тем самым у нас появилась возможность рассматривать скорость тела как функцию времени, или функцию координаты.

С математической точки зрения это гораздо удобней, чем задавать значения средних скоростей на многих малых временных промежутках. Однако давайте задумаемся, а имеет ли физический смысл скорость в данный момент времени? Скорость – характеристика движения, в данном случае перемещения тела в пространстве.

Для того чтобы зафиксировать перемещение необходимо наблюдать за движением в течение некоторого промежутка времени. Чтобы измерить скорость, также необходим промежуток времени.

Даже самые совершенные измерители скорости радарные установки измеряют скорость движущихся автомобилей пусть за малый (порядка одной миллионной доли секунды) промежуток времени, а не в какой-то момент времени. Следовательно, выражение «скорость в данный момент времени» с точки зрения физики некорректно.

Тем не менее, в механике постоянно пользуются понятием мгновенной скорости, которое очень удобно в математических расчетах. Математически, логически мы можем рассмотреть предельный переход Δt → 0, а физически имеется минимально возможное значение промежутка Δt, за который можно измерить скорость.

В дальнейшем, говоря о скорости, мы будем иметь в виду именно мгновенную скорость. Заметим, при равномерном движении мгновенная скорость равна ранее определенной скорости, потому, что при равномерном движении отношение \(~\frac{\Delta x}{\Delta t}\) не зависит от величины промежутка времени, поэтому остается неизменным и при сколь угодно малом Δt.

Так как скорость может зависеть от времени, то ее следует рассматривать как функцию времени, и изображать ее в виде графика.

Примечания

  1. ↑ В высшей математике это определение записывают с помощью специального символа lim (предел – limit)\[~\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}\] , кроме того, процедура вычисления подобного предела называется взятием производной.

Следующая страница

Источник: http://www.physbook.ru/index.php/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D0%BD%D1%8E%D0%BA_%D0%90.%D0%98._%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_10/2.2

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.